文章目錄

• 笛卡爾樹
• • 介紹
  • 例題
  • • Largest Submatrix of All 1’s
  • 應用
  • • 「POI2015」洗車 Myjnie
    • [AGC028B] Removing Blocks
    • SPOJ PERIODNI

笛卡爾樹

介紹

笛卡爾樹是一種數據結構，每個點由兩個值，鍵值key和權值val，組成

• 其鍵值滿足二叉樹性質

  • 即點的左子樹內所有點的鍵值均小于點的鍵值，點的鍵值均小于點的右子樹內所有點的鍵值

    所以笛卡爾樹按照中序遍歷就會得到原序列

    通常笛卡爾樹的鍵值就是下標

• 其權值滿足堆的性質

  • 可以是大根堆，可以是小根堆

    以小根堆為例，點的權值是該點子樹內所有點的權值最小值

    每個點代表一個連續區間的信息

如果某笛卡爾樹，鍵值和權值互不相等，則建出來得笛卡爾樹是唯一的

笛卡爾樹的構建時間復雜度是$O(n)$

按照鍵值是下標的原則，順次加入點

則每次點都會走根的右邊，路徑是一條右鏈

但這只能維護笛卡爾樹的二叉樹性質，無法維護堆的性質

實際上，使用單調棧維護笛卡爾樹的右鏈

找到第一個權值大于新點權值的點

發現用新點代替該點，并使得該點及其一下所有點都成為新點的左子樹

恰好維護了笛卡爾樹的性質

對應的單調棧操作就會把該點及后面的點全都彈棧

然后新點入棧

模板

void build() {stack < int > s;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( ! s.empty() and h[s.top()] >= h[i] )lson[i] = s.top(), s.pop();if( ! s.empty() ) rson[s.top()] = i;s.push( i );}while( ! s.empty() ) rt = s.top(), s.pop(); }

例題

笛卡爾樹的應用最常見的就是與直方圖的結合，求最長矩陣的面積

Largest Submatrix of All 1’s

POJ3494

此題無非多了一個枚舉直方圖的底邊在第幾行，所以用來當模板題沒有問題

題意：求全為1的矩陣最大面積

把每一列當成一個建筑

枚舉直方圖的底邊后，計算出從第一行到底邊的每一列的高度

只取從底邊開始延伸的連續段，半路夭折的段不需要考慮，因為底邊是枚舉的，那些段一定被計算過了

然后就是模板的笛卡爾樹建立

因為笛卡爾樹的每個點代表一個連續區間的最小值，所以求存在矩陣的最大值

就考慮矩陣的高度是每個點的可能，那可延伸的高度就是這個點管轄的區間長度，也就等于子樹個數（含自身）

一遍dfs就可以計算得出

#include <stack> #include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define maxn 2005 int n, m, rt, ans; int h[maxn], s[maxn], lson[maxn], rson[maxn]; int a[maxn][maxn];void build() {stack < int > s;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( ! s.empty() and h[s.top()] >= h[i] )lson[i] = s.top(), s.pop();if( ! s.empty() ) rson[s.top()] = i;s.push( i );}while( ! s.empty() ) rt = s.top(), s.pop(); }int dfs( int x ) {if( ! x ) return 0;int siz = dfs( lson[x] ) + dfs( rson[x] ) + 1;ans = max( ans, siz * h[x] );return siz; }int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &m, &n ) ) {for( int i = 1;i <= m;i ++ )for( int j = 1;j <= n;j ++ )scanf( "%d", &a[i][j] );ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {for( int j = 1;j <= n;j ++ ) {lson[j] = rson[j] = 0;if( a[i][j] ) h[j] ++;else h[j] = 0;}build();dfs( rt );}printf( "%d\n", ans );}return 0; }

應用

然而，笛卡爾樹很多應用其實都非常難

且直白地考察笛卡爾樹的并不多

只能說很多題有用到類似笛卡爾樹的思想罷了

其實代碼通篇看不到真正的笛卡爾樹建立使用

所以說，實際上很多題就算不會笛卡爾樹的人可能也會做

硬要扯到笛卡爾樹，我只能說可能略顯牽強罷了

「POI2015」洗車 Myjnie

$d{p}_{l,r,k}:[l,r]$洗車店中最小花費為$k$的最大收益

枚舉最小花費的位置$x$

$h_{x,k}:[l,r]$區間內含$x$點的花費上限$\ge k$的人數

$d{p}_{l,r,k}=\max \{d{p}_{l,x?1,i\ge k}+d{p}_{x+1,r,j\ge k}+h_{x,k}?k\}$

$g_{l,r,k}:\max \left\{d{p}_{l,r,i\ge k}\right\}$

$d{p}_{l,r,k}=\max \{g_{l,x?1,k}+g_{x+1,r,k}+h_{x,k}?k\}$

把$k$（每個人的承受能力$c_i$）離散化

時間復雜度$O(n^{3}m)$

輸出方案，就在$DP$轉移的時候順便記錄最大值選取的$x$即可

$f_{i,j,k}$ ：最小值$x$的位置

$ls{t}_{i,j,k}$ ：后綴$g$貢獻$i\ge x$中的收益最大值對應的$i$

本題就是完全沒有笛卡爾樹的影子，只能說$dp$的設置和尋找區間最小值以及最后方案店消費設置為$c_i$用到了類似笛卡爾樹的建立和詢問

但如果沒學過笛卡爾樹，也很有可能想得到這個dp以及答案構造的貪心策略

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 52 #define maxm 4002 int n, m; struct node { int l, r, c; }p[maxm]; int c[maxm], ans[maxn]; int h[maxn][maxm]; int f[maxn][maxn][maxm], g[maxn][maxn][maxm], lst[maxn][maxn][maxm];void dfs( int l, int r, int k ) {if( l > r ) return;int x = f[l][r][k = lst[l][r][k]];ans[x] = c[k];dfs( l, x - 1, k );dfs( x + 1, r, k ); }int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d %d", &p[i].l, &p[i].r, &p[i].c );c[i] = p[i].c;}sort( c + 1, c + m + 1 );int cnt = unique( c + 1, c + m + 1 ) - c - 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ )p[i].c = lower_bound( c + 1, c + cnt + 1, p[i].c ) - c;for( int len = 1;len <= n;len ++ )for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int j = i + len - 1;if( j > n ) break;for( int x = i;x <= j;x ++ )for( int k = 1;k <= cnt;k ++ )h[x][k] = 0;for( int k = 1;k <= m;k ++ )if( i <= p[k].l and p[k].r <= j )for( int x = p[k].l;x <= p[k].r;x ++ )h[x][p[k].c] ++;for( int x = i;x <= j;x ++ )for( int k = cnt;k;k -- )h[x][k] += h[x][k + 1];for( int k = cnt;k;k -- ) {int Max = 0; for( int x = i;x <= j;x ++ )if( Max <= g[i][x - 1][k] + g[x + 1][j][k] + c[k] * h[x][k] ) {Max = g[i][x - 1][k] + g[x + 1][j][k] + c[k] * h[x][k];f[i][j][k] = x;}if( Max >= g[i][j][k + 1] ) g[i][j][k] = Max, lst[i][j][k] = k;else g[i][j][k] = g[i][j][k + 1], lst[i][j][k] = lst[i][j][k + 1];}}dfs( 1, n, 1 );printf( "%d\n", g[1][n][1] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) printf( "%d ", ans[i] );return 0; }

[AGC028B] Removing Blocks

AGC028B

所有$n!$種刪除方案的權值和

可以看成權值和的期望再乘以$n!$

每次刪除一個位置，然后兩邊就斷開分別搞（相互獨立），類似笛卡爾樹建樹過程

把刪除時間搞出來，刪一個位置就是提ta當根，然后左右接在下面

則下標滿足二叉樹性質，刪除時間又滿足最小堆性質，這是一個標準的笛卡爾樹

恰好一個位置的貢獻次數就是其在笛卡爾樹上的深度（樹根深度為$1$）

求出點的期望深度，再乘以其$A_i$，就是點的期望貢獻，再所有點期望貢獻求和就是權值和的期望（期望現性）

計算點的深度，等價于計算有多少點是該點的祖先

考慮兩種情況

• $j<i$

  • $j$要成為$i$的祖先，就必須$[j,i]$區間內$j$是最小值

    不然笛卡爾樹就會抽$[j,i]$中最小值$k$然后分成$[j,k?1][k+1,i]$

  • 則又變成隨機一個排列，$[l,r]$中最小值在$l$處的概率

  • 隨便選$r?l+1$個數，$C_n^{r?l+1}$

  • 然后剩下的數無所謂$(n?(r?l+1))!$

  • $l$處強制是$r?l+1$個中最小值，那么剩下的$r?l$個數順序也無所謂$(r?l)!$

  • 以上算的是所有排列的方案，最后除以$n!$就是概率了

  • $\frac{C_n^{r?l+1}(n?(r?l+1))!(r?l)!}{n!}=\frac{\frac{n!}{(r?l+1)!(n?(r?l+1)!}(n?(r?l+1))!(r?l)!}{n!}=\frac{(r?l)!}{(r?l+1)!}=\frac{1}{r?l+1}$

  • 也就是$\frac{1}{i?j+1}$

• $j>i$ 同理

  • $j$要成為$i$的祖先，就必須$[i,j]$區間內$j$是最小值
  • 則又變成隨機一個排列，$[l,r]$中最小值在$r$處的概率
  • 隨便選$r?l+1$個數，$C_n^{r?l+1}$
  • 然后剩下的數無所謂$(n?(r?l+1))!$
  • $r$處強制是$r?l+1$個中最小值，那么剩下的$r?l$個數順序也無所謂$(r?l)!$
  • 以上算的是所有排列的方案，最后除以$n!$就是概率了
  • $\frac{C_n^{r?l+1}(n?(r?l+1))!(r?l)!}{n!}=\frac{\frac{n!}{(r?l+1)!(n?(r?l+1)!}(n?(r?l+1))!(r?l)!}{n!}=\frac{(r?l)!}{(r?l+1)!}=\frac{1}{r?l+1}$
  • 也就是$\frac{1}{j?i+1}$

$E(h_i)={\sum }_{j=1}^{i?1}\frac{1}{i?j+1}+{\sum }_{j=i+1}^n\frac{1}{j?i+1}$

令$s_i={\sum }_{x=1}^i\frac{1}{x}$

則$E(h_i)=s_i?\frac{1}{2}+s_{n?i+1}?\frac{1}{2}=s_i+s_{n?i+1}?1$

$ans=n!\times {\sum }_{i=1}^n(s_i+s_{n?i+1}?1)?a_i$

#include <cstdio> #define mod 1000000007 #define int long long #define maxn 100005 int n; int a[maxn], inv[maxn], s[maxn];signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &a[i] );inv[1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ )inv[i] = ( mod - mod / i * inv[mod % i] % mod ) % mod;for( int i = 1;i <= n;i ++ )s[i] = ( s[i - 1] + inv[i] ) % mod;int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )ans = ( ans + ( s[i] + s[n - i + 1] - 1 ) * a[i] % mod ) % mod;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans = ans * i % mod;printf( "%lld\n", ( ans + mod ) % mod );return 0; }

SPOJ PERIODNI

BZOJ2616

同樣的直方圖考慮笛卡爾樹

以高度為權值，下標為鍵值，建立笛卡爾樹

每個點表示區間內的最小值（最低高度）——實則代表了一個完整不缺的矩陣

則每個點的左右兒子肯定是相互獨立的（中間有至少一列的空白）

設$d{p}_{i,j}:i$子樹內選了$j$輛車的方案數

則先卷一下點左右兒子一共選了$x$輛車的方案數，$t_i={\sum }_{j=0}^{i}d{p}_{lson,j}?d{p}_{rson,i?j}$

在處理當前點表示的矩陣的轉移，$d{p}_{now,i}={\sum }_{j=0}^i{t}_{i?j}\times j!\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{H}{j}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{W?(i?j)}{j}\right)$

• 枚舉$now$點子樹內安排了$i$輛車
• 枚舉$now$這一個矩陣內安排了$j$輛車，則左右兒子及其子樹總共安排了$i?j$輛車
• $H$表示$now$點代表的矩陣的高度，$W$表示$now$點代表的矩陣的寬度
• $j$輛車所在行不能相等，相當于在$H$行中選$j$行的方案數，列同理
• 保證了$i$輛車的行不會沖突，還要解決列不會沖突
• 左右兒子及其子樹的列是與$now$點矩陣的列聯通的，所以真正可以選的列要減去兒孫使用的$i?j$列

不用$\mathrm{F}\mathrm{F}\mathrm{T}$，直接卷就行

#include <stack> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; #define mod 1000000007 #define int long long #define maxn 505 #define maxm 1000005 int n, k, rt; int h[maxn], fac[maxm], inv[maxm], lson[maxn], rson[maxn], t[maxn]; int dp[maxn][maxn];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }void init( int n ) {fac[0] = inv[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;inv[n] = qkpow( fac[n], mod - 2 );for( int i = n - 1;i;i -- ) inv[i] = inv[i + 1] * ( i + 1 ) % mod; }int C( int n, int m ) {if( n < m ) return 0;else return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod; }void build() {stack < int > s;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( ! s.empty() and h[s.top()] > h[i] ) lson[i] = s.top(), s.pop();if( ! s.empty() ) rson[s.top()] = i;s.push( i );}while( ! s.empty() ) rt = s.top(), s.pop(); }int dfs( int now, int lst ) {int d = h[now] - lst, w = 1;if( lson[now] ) w += dfs( lson[now], h[now] );if( rson[now] ) w += dfs( rson[now], h[now] );memset( t, 0, sizeof( t ) );for( int i = 0;i <= w;i ++ )for( int j = 0;j <= i;j ++ )t[i] = ( t[i] + dp[lson[now]][j] * dp[rson[now]][i - j] ) % mod;for( int i = 0;i <= w;i ++ )for( int j = 0;j <= i;j ++ )dp[now][i] = ( dp[now][i] + t[i - j] * fac[j] % mod * C( d, j ) % mod * C( w - ( i - j ), j ) ) % mod;return w; }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &h[i] );init( maxm - 5 );build();dp[0][0] = 1;dfs( rt, 0 );printf( "%lld\n", dp[rt][k] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的笛卡尔树详解带建树模板及例题运用（Largest Submatrix of All 1’s，洗车 Myjnie，Removing Blocks，SPOJ PERIODNI）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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