2021-09-07 test

• [TJOI2013]拯救小矮人
• 「ICPC World Finals 2019」Hobson 的火車

[TJOI2013]拯救小矮人

luogu4823

考試題目的數據加強為2e5，所以此題做法應為$O(n\log n)$的反悔貪心

這種有多元屬性，選擇最優的問題

如果發現簡單的貪心總是半錯半對的

解法通常有兩種

• 設計dp進行轉移
• 考慮反悔貪心

此題也不意外

定義每個人所需的逃出高度為$H?a_i?b_i$

observation1 : 逃出高度越高的人越先逃出

當然可能某些人的屬性是極端的，比如身高非常高而手很短，卻被派到前面，這個時候可能不讓此人逃走能讓后面的人走得更多，才是最佳方案

從這種情況上得出

observation2 : 如果斷定此人不逃出，那么就永遠不會再給機會逃出

observation3 : 如果此人不能逃出，但是前面逃出的人有高度更高的，就把最高的那個人扔回來，換成這個人逃出

到這里就可以使用優先隊列維護做了

接下來給出性質一和性質三的證明

• 性質一：

  考慮先逃走的人逃出高度為$h_1$，再逃走的逃出高度為$h_2$

  則有$h_1>h_2$，即$H?a_1?b_1>H?a_2?b_2?a_1+b_1<a_2+b_2$

  設$h$為還在洞內所有人的身高包含1,2

  如果1,2都能逃出，那么1,2之間逃出的順序，對后面的人不會影響，反正都不會有身高的貢獻

  也就是說，我們需要證明當滿足$h_1>h_2$條件時，1更難逃出，所以需要先走

  既然2能逃走，說明不需要1的身高，即$h?a_1+a_2+b_2\ge H$

  如果2先逃走，1也能逃走，則必須滿足$h?a_2+a_1+b_1\ge H$

  • $?a_1+a_2+b_2??a_2+a_1+b_1?a_2+a_2+b_2?a_1+a_1+b_1$

    $a_1+b_1<a_2+b_2?a_1<a_2+b_2?b_1$

    $a_1+a_1+b_1<a_2+b_2?b_1+a_1+b_1=a_2+b_2+a_1$

  所以?應為>

  也就是說2逃出時超出$H$的距離更多，也就是比1逃出條件要松一點

  如果1逃走后2無法出逃，那么2逃走后1更無法逃出，且加緊了后面的約束

  當然這只是充分證明，因為會考慮逃不走換人的情況，結合反悔貪心才是最后的貪心

• 性質三：

  對于某個不能逃出的人，選擇前面比自己高的最高的人，換進來

  這反悔貪心很顯然，換一個人進來換一個人出去，對人數沒有影響

  但是換了個更高的人進來，那么其高度就會松弛后面所有人的逃出條件，使得逃出可能性增大

  • 接下來證明，在逃出條件越后越松弛的前提下，換一個更高的人進來，自己一定可以逃出去

    假設2此時無法逃出，需要把前面的1換進來，定義$h$為在洞內的人的高度加上已經逃出的1的高度

    則$a_1+b_1<a_2+b_2$ 且 $a_1>a_2$

    把在1,2之間逃出洞的所有人先再次丟回洞中，相當于回溯到第一次決定讓1逃出的時刻

    因為逃出高度限制是逐漸寬松的，既然這個時候1能逃出，2一定也能逃出

    考慮變成2逃出對之前在1，2中間逃出的人的影響，發現是正面影響

    因為2的高度沒有1高，相當于換了一個更高的人墊背，那么原來在1,2中間逃出的人同樣也會逃離

#include <queue> #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define int long long #define maxn 200005 priority_queue < int > q; struct node { int a, b, h; }p[maxn]; int n, H; int h[maxn];signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld %lld", &p[i].a, &p[i].b );scanf( "%lld", &H );for( int i = n;i;i -- )p[i].h = H - p[i].a - p[i].b;sort( p + 1, p + n + 1, []( node x, node y ) { return x.h > y.h; } );for( int i = n;i;i -- )h[i] = h[i + 1] + p[i].a;int now = 0, ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) if( now + h[i + 1] >= p[i].h ) ans ++, q.push( p[i].a );else {if( ! q.empty() and q.top() > p[i].a )now += q.top(), q.pop(), q.push( p[i].a );elsenow += p[i].a;}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

「ICPC World Finals 2019」Hobson 的火車

LOJ6548

恰好考了一下最近學的基環樹

如果是問從每個點開始能訪問的點數，那么就非常簡單，是個外環樹

每個非環樹上的點的路徑都是一條鏈，只需要考慮深度和$k$的關系即可

但不巧的是這道題是求每個點可以被多少個點訪問到，是個內環樹

發現時間卡在設計$DP$的$k$轉移上

很妙的，又是前幾天考試的解法就是——樹上差分和環上差分

具體細節實現可看代碼及注釋

#include <cstdio> #include <vector> using namespace std; #define maxn 500005 vector < int > G[maxn], circle; int n, k, siz, top; int ans[maxn], dep[maxn], vis[maxn], s[maxn], d[maxn];void dfs( int u, int rt ) {if( ! vis[u] ) vis[u] = 1; //在求該聯通分量時可能有些點還未訪問過 身處環遍歷后面 s[++ top] = u;if( top > k + 1 and s[top - k - 1] ^ circle[rt] ) //差分 與u點相距k+1甚至更遠的點不再有貢獻 ans[s[top - k - 1]] --;for( auto v : G[u] )if( vis[v] == 2 ) continue;//環點在后面單獨更新else { dep[v] = dep[u] + 1;dfs( v, rt );if( u ^ circle[rt] ) ans[u] += ans[v];}top --;if( dep[u] <= k ) { //會延伸到部分環點 哪怕只有一個點 //環長雖然是siz 但實際上只需要走siz-1步就會遍歷完所有環點 if( dep[u] + siz > k + 1 ) { //無法在k步內將環都覆蓋完 int t = ( rt + k - dep[u] + 1 ) % siz;/*rt+k-dep[u]是真正差分的結束位置需要在結束位置的下一位pos+1打上-1抵消標記 */ans[circle[rt]] ++, ans[circle[t]] --;if( t < rt ) ans[circle[0]] ++;/*由于環差分也是從環頭遍歷到環尾 默認斷開了環頭與環尾的邊 該if成立說明覆蓋的部分點跨越了環尾在環頭多延伸了一點 環頭到結束位置也應該差分*/ }else ++ ans[circle[0]]; //該點可以訪問所有環點 直接在環頭++ }if( u ^ circle[rt] ) ans[u] ++; }void dfs( int now ) {circle.clear();while( vis[now] ^ 2 ) { //如果now點先前已經被遍歷2次 也就是回到了環頭 不再重復入環 if( vis[now] ) circle.push_back( now ); //再次經過now點說明是環上一點 開始進入求環部分 vis[now] ++;now = d[now];}siz = circle.size();for( int i = 0;i < siz;i ++ )//先差分求每個環點的非環樹答案 dfs( circle[i], i );for( int i = 1;i < siz;i ++ )//環差分 ans[circle[i]] += ans[circle[i - 1]]; }int main() {scanf( "%d %d", &n, &k );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d", &d[i] );G[d[i]].push_back( i );//建反圖 }for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( ! vis[i] ) dfs( i );for( int i = 1;i <= n;i ++ )printf( "%d\n", ans[i] );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[TJOI2013]拯救小矮人（反悔贪心证明），「ICPC World Finals 2019」Hobson 的火车（基环树，差分）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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