茅山道術

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題目描述
小七擅長茅山道術，有一天他發現了 n 個排成一行的寶石，其中第 i 個寶石
有一個顏色 ci 。
小七決定用茅山道術替換一些寶石，具體地，他每次施法可以選定兩個滿足
cl = cr 的正整數 l; r(1 ≤ l ≤ r ≤ n) ，然后將區間 [l; r] 內的寶石全部替換為顏
色為 cl 的寶石。
小七想知道，在經過若干次施法后（可以一次也不施法），最終能形成多少
種可能的顏色序列呢？
兩個序列不同等價于存在一個 i ，使得位置 i 的寶石在兩個序列中顏色不
同。由于答案可能很大，你只需要輸出答案對 109 + 7 取模的結果。
輸入格式
輸入文件 magic.in 包含 2 行。
第 1 行輸入一個正整數表示 n 。
第 2 行輸入 n 個正整數，其中第 i 個正整數表示 ci 。
輸出格式
輸出文件 magic.out 包含一行，僅一個非負整數，表示答案對 109 + 7 取模
的結果。
樣例輸入
6
1 2 1 3 4 3
樣例輸出
4
數據范圍及約定

測試點編號n特殊性質

1 ～ 4	≤ 5	無
5 ～ 10	≤ 2 × 103	無
11 ～ 14	≤ 106	ci ≤ 2
15 ～ 20	≤ 106	無

對于 100% 的數據，滿足 1 ≤ k ≤ n ≤ 106; 1 ≤ ci ≤ n

solution

case 1~4 ：隨便暴力

case 11~14 ：具有特殊性質$1\le c_i\le 2$

通過找規律（也可以證明），答案為$n$對應的斐波拉契數

case 5~10 ：$n\le 2000$

前面的數據點只是為了不讓做不出來的人難看罷了，只有這個數據點是設置的與正解有關的

顯然可以承擔$n^2$的$dp$，設$f_i:[i,n]$的序列有多少種

暴力枚舉$i$可以和哪些$j(i<j)$匹配，即$f_i={\sum }_{j=i+1}^n[c_i=c_j]f_j+1$(不匹配，保持原序列不變)

case 15~20 ：$n\le 10^6,1\le c_i\le n$

想辦法在比較暴力的$dp$基礎上優化掉一個$n$

發現對于$i$有用的只有和其顏色相同的$j$，每個$i$都會累加后面的所有與之顏色相同的$j$的答案

這其實是個后綴和的形式，后綴和優化，即$g_c:$ 到$i$為止顏色為$c$的所有$j(i<j)$的$f$之和

每次求完$f_i$后，再對$g_{c_i}$進行更新

時間復雜度$O(n)$

還不用對顏色離散化，代碼就更簡單了

code

#include <cstdio> #define maxn 1000005 #define int long long #define mod 1000000007 int n; int c[maxn], f[maxn], g[maxn];signed main() {freopen( "magic.in", "r", stdin );freopen( "magic.out", "w", stdout );scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &c[i] );if( c[i] == c[i - 1] ) i --, n --;}f[n + 1] = 1;for( int i = n;i;i -- ) {f[i] = ( f[i + 1] + g[c[i]] ) % mod;g[c[i]] = ( g[c[i]] + f[i + 1] ) % mod;}printf( "%lld\n", f[1] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[2021-09-11 CQBZ/HSZX多校联考 T1] 茅山道术 （后缀和优化dp)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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