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【模板】k短路 / [SDOI2010]魔法豬學院

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iPig 在假期來到了傳說中的魔法豬學院，開始為期兩個月的魔法豬訓練。經過了一周理論知識和一周基本魔法的學習之后，iPig 對豬世界的世界本原有了很多的了解：眾所周知，世界是由元素構成的；元素與元素之間可以互相轉換；能量守恒$\dots \dots \dots$

iPig 今天就在進行一個麻煩的測驗。iPig 在之前的學習中已經知道了很多種元素，并學會了可以轉化這些元素的魔法，每種魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作為 PKU 的頂尖學豬，讓 iPig 用最少的能量完成從一種元素轉換到另一種元素…等等，iPig 的魔法導豬可沒這么笨！這一次，他給 iPig 帶來了很多 1 號元素的樣本，要求 iPig 使用學習過的魔法將它們一個個轉化為 N 號元素，為了增加難度，要求每份樣本的轉換過程都不相同。這個看似困難的任務實際上對 iPig 并沒有挑戰性，因為，他有堅實的后盾…現在的你呀！

注意，兩個元素之間的轉化可能有多種魔法，轉化是單向的。轉化的過程中，可以轉化到一個元素（包括開始元素）多次，但是一但轉化到目標元素，則一份樣本的轉化過程結束。iPig 的總能量是有限的，所以最多能夠轉換的樣本數一定是一個有限數。具體請參看樣例。
輸入格式

第一行三個數 N,M,E，表示 iPig 知道的元素個數（元素從 1 到 N 編號），iPig 已經學會的魔法個數和 iPig 的總能量。

后跟 M 行每行三個數 si,ti,ei? 表示 iPig 知道一種魔法，消耗 ei? 的能量將元素 si 變換到元素 ti

solution

對于原圖以終點$t$為根建立一棵任意的最短路徑樹$T$，即我們所謂的反圖

從$t$跑出到所有點的最短路$dis$

顯然，從點$s$到終點$t$可能有不止一條路徑，也有可能不止一條最短路

如果兩條邊都能出現在$T$上，且兩條邊又只能出現一條，那么隨便選一條即可

定義：對于一條原圖邊$u\to v$，$u$為這條邊的起點，$v$為這條邊的終點

顯然，如果一條原邊出現在$T$上，那么$v$一定是$u$的祖先

這個最短路徑樹有幾個性質

• 性質Ⅰ

  對于一條$s\to t$的路徑，將這條路徑依次經過的邊的集合，記為邊集$E$，或路徑$E$

  然后去掉$E$與$T$的交集，記為邊集$E^{\prime }$，或路徑$E^{\prime }$

  也就是說，一條路徑$P$指代的是這條路徑包含的所有邊的集合

  那么對于$E^{\prime }$中任意相鄰的兩條邊（從原圖的方向$s\to t$來看）$a,b$，即先走邊$a$再走邊$b$

  滿足$b$的起點在$T$中為$a$的終點的祖先或者相同點

  因為$a,b$兩邊之間要么由樹邊相連，要么直接相連

• 性質Ⅱ

  對于不在$T$的一條邊$e$，$u,v$分別為起點/終點，邊權為$w$

  定義${\Delta }_e=di{s}_v+w?di{s}_u$，即選這條邊與最短路的差值

  設$L_E$為一條路徑的長度，這條路徑為$s\to t$

  顯然有$L_E={\sum }_{e\in E^{\prime }}{\Delta }_e+di{s}_s$

• 性質Ⅲ

  對于滿足性質Ⅰ的中$E^{\prime }$的定義的邊集$P$，有且只有一條$s\to t$的路徑$E$，使得$P=E^{\prime }$

  因為$T$上任意兩點之間有且僅有一條路徑

---

這道題就轉化為了求第$K$小滿足性質Ⅰ的路徑$E^{\prime }$的定義的邊集

最短路徑肯定是$T$上的$di{s}_1$

用小根堆維護邊集$E$，初始為空集（事實上只要維護當前刻畫出的路徑的最后一條邊的起點（尾端）即可，空集就是整條路徑的起點$s$，本題中就是點$1$）

一個點可以延伸多條邊，也就刻畫出了多條不同的路徑，這些路徑都需要分開記錄

對于已刻畫的所有路徑，取出最小權值的路徑$E$，設當前尾部邊的起點為$u$

有兩種新路徑的刻畫

• 將這個邊集的最后一條邊，替換成另外一條以$u$為起點的權值大于等于當前邊權值的非樹邊
• 這條最后邊的終點為$v$，在這條邊的后面接一條 在$T$中為$v$祖先（含$v$自身）的點 能延伸的所有非樹邊的 最小邊

問題就是怎么維護祖先延伸的所有非樹邊的最小邊

從祖先轉移過來，最小堆合并即可

每個點的自身信息也要保留，不能和祖先的邊混合，這是為了轉移Ⅰ，替換最后一條邊

那么可持久化即可

?：最后注意一下，以$n$為起點的邊（這種魔法可以將$n$元素轉化成其他元素）是不能要的
因為本題，到了$n$元素就意味著這次轉化成功了，就此就終止了

你谷第一個數據點就是卡的這個小細節

code

#include <queue> #include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define Pair pair < double, int > #define inf 0x7f7f7f7f #define maxm 200005 #define maxn 5005 struct edge { int u, v; double w; }E[maxm]; struct node { int lson, rson, dis, End; double val; }t[maxm * 50]; priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q; vector < int > G[maxn]; int n, m, cnt; double En; int f[maxn], root[maxn]; double dis[maxn]; bool vis[maxn], used[maxm];int Newnode( double val, int End ) {int now = ++ cnt;t[now].End = End;t[now].val = val;return now; }int merge( int x, int y ) {if( ! x or ! y ) return x + y;if( t[x].val > t[y].val ) swap( x, y );int now = ++ cnt;t[now] = t[x];t[now].rson = merge( t[x].rson, y );if( t[t[now].lson].dis < t[t[now].rson].dis )swap( t[now].lson, t[now].rson );t[now].dis = t[t[now].rson].dis + 1;return now; }void dfs( int u ) {vis[u] = 1;for( auto id : G[u] ) {auto v = E[id].v;auto w = E[id].w;if( ! vis[v] and dis[v] == dis[u] + w )f[v] = u, used[id] = 1, dfs( v );} }int main() {scanf( "%d %d %lf", &n, &m, &En );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d %lf", &E[i].v, &E[i].u, &E[i].w );if( E[i].v == n ) i --, m --;else G[E[i].u].push_back( i );}memset( dis, 0x7f, sizeof( dis ) );q.push( make_pair( dis[n] = 0, n ) );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second; q.pop();if( vis[u] ) continue;vis[u] = 1;for( auto id : G[u] ) {auto v = E[id].v;auto w = E[id].w;if( dis[v] > dis[u] + w )q.push( make_pair( dis[v] = dis[u] + w, v ) );}}memset( vis, 0, sizeof( vis ) );dfs( n );for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( used[i] ) continue;else {auto u = E[i].u;auto v = E[i].v;auto w = E[i].w;if( dis[u] == inf or dis[v] == inf ) continue;else root[v] = merge( root[v], Newnode( dis[u] + w - dis[v], u ) );}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) q.push( make_pair( dis[i], i ) );while( ! q.empty() ) {int now = q.top().second; q.pop();if( f[now] ) root[now] = merge( root[now], root[f[now]] );}int ans = 0;if( dis[1] <= En ) En -= dis[1], ans ++;if( root[1] ) q.push( make_pair( t[root[1]].val, root[1] ) );while( ! q.empty() ) {auto w = q.top().first;auto now = q.top().second;q.pop();if( dis[1] + w > En ) break;else ans ++, En -= dis[1] + w;if( t[now].lson ) //轉移一 替換最后一條邊q.push( make_pair( w - t[now].val + t[t[now].lson].val, t[now].lson ) );if( t[now].rson )q.push( make_pair( w - t[now].val + t[t[now].rson].val, t[now].rson ) ); if( root[t[now].End] ) //轉移二 找邊終點所有祖先的可擴展最小非樹邊 q.push( make_pair( w + t[root[t[now].End]].val, root[t[now].End] ) );}printf( "%d\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】左偏树的可持久化（【模板】k短路 / [SDOI2010]魔法猪学院）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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