ARC 124 E Pass to Next

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solution

令 $c_i:$ 第 $i$ 個人傳給下一個人球的個數

當 $\min \{c_i\}=0$ 時，將每一個 $c_i$ 都減小 $1$，顯然答案序列并不會改變

所以，我們只需要考慮 $\min \{c_i\}=0$ 的情況

這樣性質的 $c$ 序列一共有 ${\prod }_{i=1}^n(a_i+1)?{\prod }_{i=1}^n{a}_i$ 種，每一種都會導致最后不同的結果序列

至少有一個人是不傳球的方案數：總方案數$?$每個人都傳球的方案數（將 $+1$ 看作不傳球）

${\prod }_{i=1}^n{x}_i={\prod }_{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_i}{1}\right):$ 理解成每個人傳完球后，從手里剩下的球中選一個的方案數

所以，我們就可以設計 $d{p}_{i,0/1}$ 轉移了

• $d{p}_{i,0}:$ 第 $i$ 個人從自己原有的球上選一個，前 $i?1$ 個人的方案數
• $d{p}_{i,1}:$ 第 $i$ 個人從第 $i?1$ 個人給的球中選一個，前 $i$ 個人的方案數

因為是同時一起給下一個人球的，所以每個人手中原本的球可以看成時一種來源，不同來源球直接的分配是相互獨立的，前一個人傳遞過來多少與自己傳遞多少出去是互不干擾的

• $d{p}_{i+1,0}\leftarrow d{p}_{i,0}?\frac{a_i(a_i+1)}{2}$

  由于 $d{p}_{i,0}$ 沒有算 $i$ 的貢獻，轉移時要加上；且這種情況 $i$ 時從自己手上剩的球中選一個

  如果剩下 $x$ 個就有 $x$ 種選法，而 $x\in [1,a_i]$，所以方案數為 ${\sum }_{x=1}^{a_i}x$

• $d{p}_{i+1,0}\leftarrow d{p}_{i,1}?(a_i+1)$

  由于 $d{p}_{i,1}$ 已經算了 $i$ 的貢獻，轉移只需要考慮 $i\to i+1$ 的球數，且此情況下先不計算 $i+1$ 在自己手上選球的貢獻

  傳遞 $0,1,...,a_i$ 個一共是 $a_i+1$ 種方案

• $d{p}_{i+1,1}\leftarrow d{p}_{i,0}?(a_i?\frac{a_i(a_i+1)}{2}?\frac{a_i(a_i+1)(2a_i+1)}{6})$

  由于 $i,i+1$ 的貢獻都沒有計算，轉移時要一起加上

  如果 $i$ 傳遞了 $x$ 個，那么就還剩下 $a_i?x$ 個，$i$ 是從自己手中選，則有 $a_i?x$ 中選法，$i+1$ 是從 $i$ 傳的球中選一個，則有 $x$ 種選法

  所以總方案數為 ${\sum }_{x=1}^{a_i}x(a_i?x)=a_i?{\sum }_{x=1}^{a_i}?{\sum }_{x=1}^{a_i}{x}^2=a_i?\frac{a_i(a_i+1)}{2}?\frac{a_i(a_i+1)(2a_i+1)}{6}$

• $d{p}_{i+1,1}\leftarrow d{p}_{i,1}?\frac{a_i(a_i+1)}{2}$

  由于已經計算了 $i$ 的貢獻，所以只需要考慮 $i+1$ 的貢獻

  $i+1$ 選的是 $i$ 傳遞的球，如果 $i$ 傳了 $x$ 個，那么就有 $x$ 種選擇，方案數為 ${\sum }_{x=1}^{a_i}x=\frac{a_i(a_i+1)}{2}$

最后因為是個環，所以初始應該欽定 $1$ 的選擇

顯然這個 $dp$ 的過程并沒有考慮 $\min \{c_i\}=0$ 的限制，而是隨意轉移

所以利用容斥，減去強制至少轉移一個球的方案數，就對應著至少有一個人的 $c_i=0$ 的方案數

具體而言：

• $i$ 從自己手上剩的球選擇，剩的球就被限制為了 $1,2,...,a_{i?1}$

  轉移變為 $d{p}_{i+1,0}\leftarrow d{p}_{i,0}?\frac{a_i(a_i?1)}{2}$

• $i$ 傳遞給 $i+1$ 至少都是一個球 $1,2,...,a_i$

  轉移變為 $d{p}_{i+1,0}\leftarrow d{p}_{i,1}?a_i$

• 而 case3 case4 的轉移，因為為了使 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1}\right)$ 有意義，所以 $x$ 自帶條件就是 $\ge 1$，轉移不變

code

#include <cstdio> #include <cstring> #define int long long #define mod 998244353 #define maxn 300005 const int inv2 = ( mod + 1 ) / 2; const int inv6 = ( mod + 1 ) / 6; int n; int a[maxn]; int dp[maxn][2];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }int solve( int o, int k ) {memset( dp, 0, sizeof( dp ) );dp[1][o] = 1;for( int i = 1, x, g, f;i <= n;i ++ ) {x = a[i] - k;g = x * ( x + 1 ) % mod * inv2 % mod;dp[i + 1][0] = ( dp[i][0] * g + dp[i][1] * ( x + 1 ) ) % mod;x = a[i];g = x * ( x + 1 ) % mod * inv2 % mod;f = x * ( x + 1 ) % mod * ( x << 1 | 1 ) % mod * inv6 % mod;dp[i + 1][1] = ( ( a[i] * g - f ) % mod * dp[i][0] + dp[i][1] * g ) % mod;}return dp[n + 1][o]; }signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );printf( "%lld\n", ( ( solve( 1, 0 ) + solve( 0, 0 ) - solve( 0, 1 ) - solve( 1, 1 ) ) % mod + mod ) % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[AtCoder Regular Contest 124E] Pass to Next（dp+数学）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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