CF1237F Balanced Domino Placements

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題目鏈接

solution

骨牌橫著放會占用一行兩列，骨牌豎著放會占用兩行一列。

問題可以抽象為：每次可以選擇連續的兩行放 $A$，或選一行放 $B$；每次可以選一列放 $B$ ，或選連續的兩列放 $A$。

且最后行的 $A$ 數量等于列的 $B$ 數量，列的 $A$ 數量等于行的 $B$ 數量。【多米諾骨牌大小的匹配】

這樣一個放物品的過程會對應原來很多個多米諾骨牌擺放的方案，因為行列之間 $A,B$ 配對的方案不只一種，任意一種配對方案對應一種不同的擺放方案。

行列之間的 $A,B$ 的擺放是不影響的，只有數量相等的要求。

假設選了 $x$ 個 $A$，$y$ 個 $B$，則方案數為 $x!y!$。

由于行列互不影響，所以分開求解，最后利用乘法原理計算即可。下面以行為例。

設 $d{p}_{i,j,k}:$ 考慮前 $i$ 行，放了 $j$ 個 $A$，$k$ 個 $B$ 的方案數。

暴力的狀態都是 $n^3$ 的，考慮優化。
實際上，$B$ 的性質是只占用一行，只要知道剩下的空位，我們就能計算 $B$ 的方案數。

改寫 $d{p}_{i,j}:$ 前 $i$ 行放了 $j$ 個 $A$ ，還沒有放 $B$ 的方案數。

那么最后可以放 $B$ 的空位為 $cnt?2?j$，$cnt:$ 去除掉題目所給多米諾骨牌占用的行后剩下的行數，如果要選 $k$ 個 $B$，則可以 $O(1)$ 計算方案數為：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{cnt?2?j}{k}\right)$

最后合并需要枚舉行選了多少個 $A$ 和多少個 $B$，枚舉總時間也是 $O(n^2)$ 的。

所以本題最終的時間復雜度為：$O(n^2)$。

code

#include <cstdio> #define int long long #define mod 998244353 #define maxn 3605 int n, m, k, cnt_c, cnt_r; int fac[maxn]; bool row[maxn], col[maxn]; int c[maxn][maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &m, &k );cnt_r = n, cnt_c = m;for( int i = 1, X1, Y1, X2, Y2;i <= k;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld %lld", &X1, &Y1, &X2, &Y2 );row[X1] = row[X2] = col[Y1] = col[Y2] = 1;cnt_r --, cnt_c --;if( X1 ^ X2 ) cnt_r --;else cnt_c --;}fac[0] = f[0][0] = g[0][0] = c[0][0] = 1;for( int i = 1;i < maxn;i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;for( int i = 1;i < maxn;i ++ ) {c[i][0] = c[i][i] = 1;for( int j = 1;j < i;j ++ )c[i][j] = ( c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1] ) % mod;}for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 0;j <= i / 2;j ++ ) {f[i][j] = f[i - 1][j];if( i >= 2 and j and ! row[i] and ! row[i - 1] ) f[i][j] = ( f[i][j] + f[i - 2][j - 1] ) % mod;}for( int i = 1;i <= m;i ++ )for( int j = 0;j <= i / 2;j ++ ) {g[i][j] = g[i - 1][j];if( i >= 2 and j and ! col[i] and ! col[i - 1] ) g[i][j] = ( g[i][j] + g[i - 2][j - 1] ) % mod;}int ans = 0;for( int i = 0;i <= cnt_r / 2;i ++ )for( int j = 0;j <= cnt_c / 2;j ++ )if( i * 2 + j <= cnt_r and i + j * 2 <= cnt_c )ans = ( ans + f[n][i] * g[m][j] % mod * c[cnt_r - 2 * i][j] % mod * c[cnt_c - 2 * j][i] % mod * fac[i] % mod * fac[j] ) % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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