因?yàn)橹挥衧td，沒有自我實(shí)現(xiàn)，所以是無碼專區(qū)

主要是為了訓(xùn)練思維能力

solution才是dls正解，但是因?yàn)橹挥辛什輲拙?#xff0c;所以大部分會(huì)有我自己基于正解上面的算法實(shí)現(xiàn)過程，可能選擇的算法跟std中dls的實(shí)現(xiàn)不太一樣。

std可能也會(huì)帶有博主自己的注釋。

problem

給定 $n$ 個(gè)數(shù)，選擇一個(gè)子集然后加起來，統(tǒng)計(jì)十進(jìn)制結(jié)果數(shù)位表示中有多少個(gè) $4$。

對(duì)所有的 $2^n$ 種方案，都統(tǒng)計(jì)一邊，計(jì)算總和。

$n\le 40,a_i\le 44444444$。

時(shí)限：$1s256MS$

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我的想法

這種計(jì)數(shù)類題目，一般是兩條線。

• 差分然后數(shù)位 $dp$。
• 每一位單獨(dú)求解計(jì)算貢獻(xiàn)，即每一位的貢獻(xiàn)乘以這一位所在的合法情況數(shù)。

本題的 $n$ 非常小，而這種 $n$ 一般都是折半搜索的標(biāo)志。

但是我不知道，怎么處理低位進(jìn)位導(dǎo)致高位數(shù)字改變，這就導(dǎo)致了無法抽離子集本身進(jìn)行求解，必須放在具體的兩個(gè)子集內(nèi)才能計(jì)數(shù)。

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solution

折半搜索，每一位分開統(tǒng)計(jì)答案。

假設(shè)計(jì)算第 $k$ 位為 $4$ 的貢獻(xiàn)。

結(jié)論：考慮兩邊各取一個(gè)數(shù)，分別為 $s,t$，求和為 $w$，如果 $w$ 對(duì) $10^{k+1}$ 取模后，最高位是 $4$，那么一定滿足 $s,t$ 分別對(duì) $10^{k+1}$ 取模后再加起來的結(jié)果屬于 $[4\times 10^k,5\times 10^k)$ 或 $[14\times 10^k,15\times 10^k)$。

將左右兩邊按 $10^{k+1}$ 取模后升序排序，指針線性掃描即可。

直接排序，時(shí)間復(fù)雜度 $O(2^{\frac{n}{2}}n\log m)$，比較懸。

考慮優(yōu)化，將 $k$ 從小到大進(jìn)行計(jì)算。

每次排序相當(dāng)于是在取模 $10^k$ 的基礎(chǔ)上，加上了最高位。

用類似于雙關(guān)鍵字的基排做法，在 $O(2^{\frac{n}{2}})$ 時(shí)間內(nèi)解決。

總時(shí)間復(fù)雜度 $O(2^{\frac{n}{2}}\log m)$。

參考代碼

#include <bits/stdc++.h>using namespace std; const int maxn = 2e6 + 10; struct node {long long l, r; }; vector<node> a, b, c[10], d[10]; int n, val[maxn];void solve(int *a, int k, vector<node> &b) {for (int i = 0; i < (1 << k); i++) {long long s = 0;for (int j = 0; j < k; j++)if (i & (1 << j))s += a[j];b.push_back(node{s, 0});} }long long get_jin0(vector<node> &a, vector<node> &b, long long base) { //處理沒有進(jìn)位的答案int point = b.size() - 1;long long ans = 0;for (int i = 0; i < a.size(); i++) {while (point >= 0 && a[i].r + b[point].r >= base)point--;ans += (point + 1);}return ans; }long long get_jin1(vector<node> &a, vector<node> &b, long long base) { //處理進(jìn)位后的使當(dāng)前位為4的答案int point = 0;long long ans = 0;int siz = b.size();for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {while (point <= siz - 1 && a[i].r + b[point].r < base)point++;ans += (b.size() - point);}return ans; }int main() {freopen("four.in", "r", stdin);freopen("four.out", "w", stdout);scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &val[i]);solve(val + 1, n / 2, a);solve(val + 1 + n / 2, n - (n / 2), b);long long base = 1, ans = 0;for (int w = 0; w <= 8; w++) {for (int i = 0; i < 10; i++)c[i].clear(), d[i].clear();for (int i = 0; i < a.size(); i++)c[a[i].l % 10].push_back(node{a[i].l / 10, a[i].r});for (int i = 0; i < b.size(); i++)d[b[i].l % 10].push_back(node{b[i].l / 10, b[i].r});for (int i = 0; i < 10; i++) { //枚舉左半邊的和的當(dāng)前位的數(shù)字int k1 = (14 - i) % 10, k2 = (13 - i) %10; //求右半邊對(duì)應(yīng)的和的當(dāng)前位的數(shù)，k1表示在不進(jìn)位的情況下的值，k2表示在后面有進(jìn)位的情況下的需要的ans += get_jin0(c[i], d[k1], base) + get_jin1(c[i], d[k2], base);}int now = 0;for (int i = 0; i < 10; i++)for (int j = 0; j < c[i].size(); j++)a[now++] = node{c[i][j].l, c[i][j].r + i * base};now = 0;for (int i = 0; i < 10; i++)for (int j = 0; j < d[i].size(); j++)b[now++] = node{d[i][j].l, d[i][j].r + i * base};base *= 10;}printf("%lld\n", ans); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【无码专区4】幸运数字4（折半搜索+计数+结论）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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