盡梨了

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豐之崎學(xué)園附近共有 $n$ 個商店，在時刻 $0$ 時，英梨梨從學(xué)園出發(fā)開始購物。

從學(xué)園走到任意一個商店，或從一個商店走到另一個商店需要 $1$ 單位時間。

如果英梨梨在時刻 $t$ 到達(dá)了商店 $i$ ，她需要先花費 $a_i\times t+b_i$ 的時間排隊，
然后才能購買這家商店的物品。

英梨梨想知道，在時刻 $T+0.5$ 之前她最多能在多少個不同商店買到物品呢？

這里假定只會在走路和排隊上消耗時間，購買物品不消耗時間。

$n\le 2e5,T\le 1e9$。

solution

假設(shè)在 $t$ 時刻選擇 $i$ 商店購買，然后立即到 $j$ 商店購買，則 $j$ 商店會多付出 $(a_i?t+b_i+1)?a_j$ 的時間。

假設(shè)在 $t$ 時刻選擇 $j$ 商店購買，然后立即到 $i$ 商店購買，則 $i$ 商店會多付出 $(a_j?t+b_j+1)?a_i$ 的時間。

若選擇先 $i$ 后 $j$ 的順序，則需滿足 $(a_i?t+b_i+1)?a_j<(a_j?t+b_j+1)?a_i?(b_i+1)?a_j<(b_j+1)?a_i$。

發(fā)現(xiàn)商店的先后順序與時間 $t$ 無關(guān)。

所以可以按照這個關(guān)系進(jìn)行商店排序。

最后實際去的商店順序按照時間排序肯定是按這個關(guān)系排序后形成的新序列的一個子序列。

暴力地設(shè) $d{p}_{i,j}:$ 在遍歷到 $i$ 商店（已經(jīng)排序過），在 $j$ 個商店買到物品的最少花費時間，轉(zhuǎn)移考慮是否進(jìn)入 $i$ 商店即可，時間復(fù)雜度 $O(n^2)$。

考慮特殊數(shù)據(jù)點 ${?}_i{a}_i>0$。

通過時間轉(zhuǎn)移公式可以發(fā)現(xiàn)，如果 $a_i=0$，那么進(jìn)入商店后的時間是指數(shù)級增長的。

這就意味著轉(zhuǎn)移的第二位只需要開到 $\log T$ 級別就可以了。

實際上，這已經(jīng)幾乎是正解了。

將所有 $a_i=0$ 的商店排到最后，只考慮 $a_i=0$ 的商店，按照上面優(yōu)化后的 $dp$ 做即可。

最后考慮剩余的時間 $T?d{p}_{k,i}$ 后面能接多少個 $a_i=0$ 的商店，貪心的將這些特殊商店按照 $b$ 升序排序。

時間復(fù)雜度：$O(n\log n+n\log T)$。

code

#include <cmath> #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define int long long #define maxn 200005 struct node { int a, b; }it[maxn]; int n, m, T, k; int dp[maxn][35];void read( int &x ) {x = 0; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s and s <= '9' ) x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s ^ 48 ), s = getchar(); }signed main() {freopen( "eriri.in", "r", stdin );freopen( "eriri.out", "w", stdout );read( n ), read( T );m = log( T ) / log( 2 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) read( it[i].a ), read( it[i].b );sort( it + 1, it + n + 1, []( node x, node y ) { return ( x.b + 1 ) * y.a < ( y.b + 1 ) * x.a; } );while( it[k + 1].a ) k ++;for( int i = 0;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= m;j ++ ) dp[i][j] = T + 1;for( int i = 1;i <= k;i ++ )for( int j = 1;j <= m;j ++ )dp[i][j] = min( min( T + 1, dp[i - 1][j] ), dp[i - 1][j - 1] + 1 + ( dp[i - 1][j - 1] + 1 ) * it[i].a + it[i].b );sort( it + k + 1, it + n + 1, []( node x, node y ) { return x.b < y.b; } );int ans = 0;for( int i = 0;i <= m and dp[k][i] <= T;i ++ ) {int sum = T - dp[k][i], cnt = 0;for( int j = k + 1;j <= n and sum > it[j].b;j ++ )cnt ++, sum -= it[j].b + 1;ans = max( ans, i + cnt );}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的尽梨了（贪心+dp）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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