基站建設

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problem

給定 $n$ 個地點，以及每個地點的可靠度 $R_i$。

有 $m$ 條光纖架，每一條連接兩個不同的地點，且是雙向的。

測試基站由 $4$ 個信號塔，有 $2$ 個主信號塔和 $2$ 個副信號塔。

要求主信號塔必須與其余三個塔相連，副信號塔必須與所有主信號塔相連。

每個地點都只能建一個信號塔，基站的可靠度為兩個主信號塔所在地點可靠度$+1$的乘積再加上兩個副信號塔所在地可靠度的乘積。即 $(R_i+1)(R_j+1)+R_a{R}_b$。

求測試基站的最大可靠度。

$n\le 3e5,1s,512MB$。

solution

observation：滿足條件的子圖其實上是有一條公共邊的兩個三元環。

求解公式并沒有什么特殊性質，所以很有可能是需要枚舉三元環的。

枚舉三元環既可以枚舉三個點，也可以枚舉三條邊，選擇不同帶來的時間效率也有所不同。

考慮根號分治。

對于度數 $<\sqrt{m}$ 的點，枚舉其兩條出邊再判斷兩條邊的入點之間是否有邊。

度數 $>\sqrt{m}$ 的點，總個數不超過 $\sqrt{m}$ 個。直接枚舉三個點。

時間復雜度均為 $O(m\sqrt{m})$。

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上面的是正解，下面的是我在考場上自己想的做法。

最暴力的就是考慮一條邊，這條邊是連接主信號塔 $u,v$ 之間的。

其實剩下的就是找 $u,v$ 連接的點的交集之中可靠度最大的兩個點。

暴力枚舉邊就是 $O(m^2)$ 的。但是一旦使用 bitset 就不一樣了。

直接 bitset 處理每個點直接相連的點的集合，將 $u,v$ 的 bitset 直接取 &。

然后 bitset 也自帶快速找到為 $1$ 的位置。

空間復雜度 $O(n^2)$。不卡！

時間復雜度是 $O(\frac{nm}{\omega })$

反正跑得挺快的。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 50005 #define maxm 200005 bitset < maxn > g[maxn]; pair < int, int > E[maxm]; int R[maxn]; int n, m;int main() {freopen( "station.in", "r", stdin );freopen( "station.out", "w", stdout );scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &R[i] );for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );E[i] = { u, v };g[u][v] = g[v][u] = 1;}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {int u = E[i].first, v = E[i].second;bitset < maxn > son = g[u] & g[v];son[u] = son[v] = 0;int max1 = 0, max2 = 0;for( int k = son._Find_first();k != son.size();k = son._Find_next( k ) ) {if( R[k] > max1 ) max2 = max1, max1 = R[k];else if( R[k] > max2 ) max2 = R[k];}if( ! max1 or ! max2 ) continue;ans = max( ans, ( R[u] + 1 ) * ( R[v] + 1 ) + max1 * max2 );}printf( "%d\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基站建设（三元环计数+根号分治 / bitset）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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