problem

【題目描述】
你在 NOIP 2018 的賽場上遇到了「貨幣系統」一題。你沒有寫出這題，導致網友的國度簡化貨幣系統的任務失敗了。網友的國度的貨幣系統現在十分混亂。

網友的國度現今有兩套貨幣系統「忘憂」和「網游」。為了方便使用，它們有一個共用的貨幣單位「𰻞」，而且二者都可以湊出價值任意整數𰻞的貨幣。

你現在希望用人民幣來兌換一些網友的國度的貨幣。你需要兌換多次，每次恰好兌換 1 𰻞。

忘憂和網游的匯率互相獨立，而且會動態改變。具體而言：

• 第一次兌換忘憂，1 𰻞花費 a 元；由于網友的國度持有的忘憂變少了，因此其價格
  上漲：每兌換 1 𰻞，下一𰻞的價格漲價 b 元；
  形式化地，第 i 次兌換忘憂的價格是一𰻞 b(i ?1) + a 元。
• 第一次兌換網游，1 𰻞花費 c 元；由于網友的國度持有的網游變少了，因此其價格上漲：每兌換 1 𰻞，下一𰻞的價格漲價 d 元；形式化地，第 i 次兌換網游的價格是一𰻞 d(i ?1) + c 元。

為了能夠隨機應變，你希望提前知道給出的 q 種 a, b, c, d 下，用 x 元錢分別最多能兌換多少𰻞。

每次詢問相互獨立

【輸入格式】

第一行一個正整數 q，表示有 q 個詢問。

接下來 q 行，每行 5 個正整數 a, b, c, d, x，分別表示忘憂、網游的匯率變化方式和你所擁有的錢。

【輸出格式】

輸出共 $q$ 行，分別表示每次詢問中你最多能兌換到多少𰻞。

$1\le a,b,c,d,x\le 10^{18}，1\le q\le 10^5$

solution

看到這種兩個函數都是單增的，且最后總限制為 $x$。

我就想到了 CSP-S 2021 T1，當時我就是采取的三分騙到了不錯的分數。

這道題看起來似乎與二分/三分很有關聯。

但是這兩個函數不能拼成一個單調或有峰值的函數，能夠直接做。

很妙的是，直接二分花費最大值 $mid$。

讓兩種物品的單個兌換最大花費不超過 $mid$。

先計算出每種物品最多能買多少個，最大的那個花費不超過 $mid$，然后可以等差數列 $O(1)$ 計算出。

具體而言，假設最多能買 $i$ 個，即 $b(i?1)+a\le mid$。

花費則為 ${\sum }_{k=1}^{i}b(k?1)+a={\sum }_{k=1}^{i}bk+(a?b)?i=\frac{(b+b?i)i}{2}+i?(a?b)$。

再把兩種物品的花費求和，與 $x$ 限制比較。

當然可能會剩下一點 $r$，也許還可以再買兩種物品中的一個，特判一下。

最開始求最大花費不超過 $mid$ 的物品個數也請注意寫法。——來自傘兵博主。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int __int128 int q, x, a, b, c, d, ans;void read( int &x ) {x = 0; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s and s <= '9' ) x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }void print( int x ) {if( x > 9 ) print( x / 10 );putchar( x % 10 + '0' ); }bool check( int v ) {int i = max( (int)0, ( v - a ) / b + 1 );int j = max( (int)0, ( v - c ) / d + 1 );if( i and b * ( i - 1 ) + a > v ) i --;if( j and d * ( j - 1 ) + c > v ) j --;int cost = ( i + 1 ) * b * i / 2 + i * ( a - b ) + ( j + 1 ) * d * j / 2 + j * ( c - d );if( cost > x ) return 0;int r = x - cost, tot = i + j;if( r >= b * i + a ) r -= b * i + a, tot ++, i ++;if( r >= d * j + c ) r -= d * j + c, tot ++, j ++;ans = max( ans, tot );return 1; }signed main() {freopen( "money.in", "r", stdin );freopen( "money.out", "w", stdout );read( q );while( q -- ) {read( a ), read( b ), read( c ), read( d ), read( x );int l = 0, r = x; ans = 0;while( l <= r ) {int mid = ( l + r ) / 2;if( check( mid ) ) l = mid + 1;else r = mid - 1;}print( ans );puts("");}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的货币系统（二分）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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