[Wf2011]Chips Challenge

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BZOJ2673

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首先得知道這是網絡流，但真的看不出來啊！！我真的郁悶啊(￣﹏￣；)

在知道做法是網絡流后，初讀題，肯定會想到將行列分左右點，$[1,n]$表示行，$[n+1,2n]$表示列。

然后就發現舉步維艱，因為題目要維護的兩個條件都不是很好操作。

$i$ 行 $i$ 列零件數一樣，且每行零件數不能超過總數的 $\frac{A}{B}$。

這兩個限制條件都沒有明確具體零件個數要求，是隨著全局動態變化的。

所以無法變成網絡流上的容量限制。

唯一知道的限制就是每行每列可放芯片的最大數量。

【可放指的是 . /C 的點】

注意到 $n$ 的限制很小，不妨考慮枚舉每行可放零件的最大值個數 $Max$。

如果能通過網絡流求出總零件數量 $tot$，就可以逆向判斷 $Max\le \frac{A}{B}tot?Max?B\le A?tot$。

而網絡流是最大流，是盡量做到流滿的，所以 $tot$ 一定會盡可能的大。

增長同向平行，最大流就是在做盡量滿足判斷式子的過程。

所以如果最大流的結果還是不滿足上面的不等式，只能說明 $Max$ 不是合法的。

自然地想到，對于可放芯片的位置 $(i,j)$ 進行 $i$ 行向 $j$ 列連邊，容量為 $1$ 。

這樣去跑網絡流，跑出的最大流確實是最多能放的芯片數量，但是這樣并沒有考慮到 $i$ 行 $i$ 列相等的限制。

因為不能知道第 $i$ 行和第 $i$ 列具體放了多少個芯片，沒有明確的容量限制。

但是轉化一下，第 $i$ 行放了芯片的位置和第 $i$ 列沒放芯片的位置加起來一共是等于 $n$ 的。

所以想到新建一個連接點 $k$，分別讓行列點向 $k$ 連邊。

行連接的邊流過的流量來表示行放芯片的個數，列連接的邊流過的流量來表示列不放芯片的個數。

行列與 $k$ 之間的邊容量設為 $\infty$。

然后連接點向 $t$ 連邊，容量為 $n$，保證 $k\to t$ 的邊滿流即可。

因為這樣代表著第 $i$ 行放的個數和第 $i$ 列不放的個數加在一起是等于 $n$ 的，變相地滿足第 $i$ 行和第 $i$ 列個數相同的限制。

但是怎么能一些邊流了表示不選，一些邊流了表示要選。最大流上面看到了是不能做到的，那就只能考慮最小費用了。

行 $i$ 流給連接點 $k$ 的表示要放的芯片，列 $i$ 流給 $k$ 的表示不放的芯片，所以 $i\to j$ 這種流給其它列點就應當表示 $(i,j)$ 不放芯片，所以只有 $i$ 行 $j$ 列是 . 才有選擇不放的可能。

為了記錄這樣的邊流了多少，就把這種邊帶上費用 $1$，跑最小費用就是盡可能減少不放的，即最大化放的芯片。

除了這樣的邊，其余邊費用就為 $0$，屬于要跑最大流。

別忘了，一開始枚舉的每行放芯片個數的限制，所以行與連接點之間的容量應該修改為 $Max$。

注意到，現在的網絡還有一個冗余的地方，列 $i$ 的出邊只有連接點 $k$，且容量為 $\infty$，所以可以將列 $i$ 與連接點進行合并。

那么現在的網絡，行 $i$ 的流量只有兩種去向：經過列 $i$ 最多流 $Max$ 個，剩下的都是流到其他列 $j$ 地方，表示不放芯片，且帶有費用 $1$。

最后最大流減去最小費用就是真正放的芯片個數，再減去一定放的 C 個數就是新放的芯片個數。

最后記得還有行列分別與源匯的連邊。

通過 $s\to i$ 容量為第 $i$ 行可放的芯片數量來限制第 $i$ 行放置的個數。

通過 $j\to t$ 容量為第 $j$ 列可放的芯片數量來限制第 $j$ 列放置的個數。【準確來說是 $j+n\to t$，大家意會就行】

最后讓這個網絡滿流即可。

總結一下建圖過程：
$$?\begin{array}{l}s\to iro{w}_i,0\\ i+n\to nco{l}_i,0\\ i\to j+n1,1(ch[i][j]{=}^{\prime }{.}^{\prime })\\ i\to i+nMax,0\end{array}$$

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 105 #define maxm 5005 int n, a, b, s, t, cnt; bool vis[maxn]; char ch[maxn][maxn]; int dis[maxn], head[maxn], lst[maxn], row[maxn], col[maxn]; struct node { int to, nxt, flow, w; }E[maxm]; queue < int > q;void addedge( int u, int v, int flow, int w ) {E[cnt] = { v, head[u], flow, w };head[u] = cnt ++;E[cnt] = { u, head[v], 0, -w };head[v] = cnt ++; }bool spfa() {memset( dis, 0x7f, sizeof( dis ) );memset( lst, -1, sizeof( lst ) );dis[s] = 0; q.push( s );while( ! q.empty() ) {int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to;if( dis[v] > dis[u] + E[i].w and E[i].flow ) {dis[v] = dis[u] + E[i].w;lst[v] = i;if( ! vis[v] ) vis[v] = 1, q.push( v );}}}return ~ lst[t]; }void MCMF( int &flow, int &cost ) {flow = cost = 0;while( spfa() ) {int Min = 1e9;for( int i = lst[t];~ i;i = lst[E[i ^ 1].to] )Min = min( Min, E[i].flow );for( int i = lst[t];~ i;i = lst[E[i ^ 1].to] )cost += E[i].w * Min, E[i].flow -= Min, E[i ^ 1].flow += Min;flow += Min;} }int main() {int Case = 0;while( ~ scanf( "%d %d %d", &n, &a, &b ) ) {if( ! n and ! a and ! b ) break;memset( row, 0, sizeof( row ) );memset( col, 0, sizeof( col ) );s = 0, t = n << 1 | 1;int sum = 0, used = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%s", ch[i] + 1 );for( int j = 1;j <= n;j ++ )if( ch[i][j] != '/' ) {sum ++, row[i] ++, col[j] ++;used += ch[i][j] == 'C';}}int ans = -1;for( int Max = 0, flow, cost;Max <= n;Max ++ ) {memset( head, -1, sizeof( head ) ); cnt = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {addedge( s, i, row[i], 0 );addedge( i + n, t, col[i], 0 );addedge( i, i + n, Max, 0 );for( int j = 1;j <= n;j ++ )if( ch[i][j] == '.' ) addedge( i, j + n, 1, 1 );}MCMF( flow, cost );if( flow == sum and Max * b <= ( sum - cost ) * a )ans = max( ans, sum - cost );}printf( "Case %d: ", ++ Case );if( ~ ans ) printf( "%d\n", ans - used );else printf( "impossible\n" );}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[Wf2011]Chips Challenge（最小费用最大流）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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