多重背包——二進制優化/單調隊列優化

• 二進制優化
• 單調隊列優化

代碼都是 POJ1742 的，注意，那道題二進制優化會超時。

普通的多重背包式子，物品個數限制：$c[i]$，單個物品價值 $w[i]$，每個物品的體積 $v[i]$

第一維是前 $i$ 個物品，第二維是背包容量。
$$dp[i,j]=\max (dp[i][j],dp[i?1][j?k?v[i]]+k?w[i])0\le k\le c[i]$$

二進制優化

因為每個數都可以被表示成二進制形式。

二進制優化就是將物品的個數 $c[i]$ 拆分成二進制形式，將多個物品捆綁成 $2^i$ 個形式。

然后通過捆綁后的多重組合，能夠組合出原來 $0～c[i]$ 的所有選擇。

i.e. 物品個數為 $12$，就拆分成 $1(2^0)+2(2^1)+4(2^2)+5$，因為剩下的不足捆綁，就單獨拎出來處理。

會發現這四個數就能組合出選擇 $0～12$ 個物品的情況。

這就將第三維度枚舉放的物品個數從 $O(c[i])$ 降到了 $O(\log c[i])$。

如果將所有信息看成同階，則復雜度為 $O(n^2\log n)$。

#include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 105 #define maxm 100005 int f[maxm], a[maxn], c[maxn]; int n, m;int main() {while( scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) );f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int k = 1;while( c[i] >= k ) {c[i] -= k;for( int j = m;j >= a[i] * k;j -- )f[j] |= f[j - a[i] * k];k <<= 1;}if( c[i] ) {for( int j = m;j >= a[i] * c[i];j -- )f[j] |= f[j - a[i] * c[i]];}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0; }

單調隊列優化

因為某種物品盡管有很多個，但是體積是一樣的。

每次都會占用背包的 $v[i]$ 體積。

所以如果原來背包的容量為 $j$，那么只會轉移給 $j+v[i],j+v[i]?2,...,j+v[i]?c[i]$，這些容量在 $\%v[i]$ 下同余。

將背包容量 $j$，按照 $\%v[i]$ 的余數分類考慮，顯然兩個不同的余數是不會相互轉移的。

式子化地，令 $a=j/v[i],b=j\%v[i]?j=a?v[i]+b$

$f[i][j]=\max \{f[i?1][j?k?v[i]]+k?w[i]\}?f[i][j]=\max \{f[i?1][(a?k)?v[i]+b]+k?w[i]\}$

$k(0\le k\le c[i])$ 反正都是枚舉的變量，不妨令 $k=a?k$

則 $f[i][j]=\max \{f[i?1][k?v[i]+b]+(a?k)?w[i]\}$

整理得，$f[i][j]=\max \{f[i?1][k?v[i]+b]?k?w[i]\}+a?w[i](a?c[i]\le k\le a)$

換種形式表達 $k$ 的范圍：$j/v[i]?c[i]]\le k\le j/v[i]$

是關于 $j$ 的不減函數，一段區間，所以可以用單調隊列優化。

時間復雜度是 $O(nV)$，就沒有 $log$ 了。

#include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 100005 int n, m, head, tail; int f[maxn], a[maxn], c[maxn], q[maxn];int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) ); f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( c[i] == 1 ) {for( int j = m;j >= a[i];j -- ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}if( a[i] * c[i] >= m ) {for( int j = a[i];j <= m;j ++ ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}for( int j = 0;j < a[i];j ++ ) {head = 1, tail = 0;for( int k = j;k <= m;k += a[i] ) {while( head <= tail and q[head] < k - a[i] * c[i] ) head ++;if( ! f[k] ) f[k] |= ( head <= tail );else q[++ tail] = k;}}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】多重背包相关优化——二进制优化/单调队列优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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