多重背包——二進(jìn)制優(yōu)化/單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化

• 二進(jìn)制優(yōu)化
• 單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化

代碼都是 POJ1742 的，注意，那道題二進(jìn)制優(yōu)化會(huì)超時(shí)。

普通的多重背包式子，物品個(gè)數(shù)限制：$c[i]$，單個(gè)物品價(jià)值 $w[i]$，每個(gè)物品的體積 $v[i]$

第一維是前 $i$ 個(gè)物品，第二維是背包容量。
$$dp[i,j]=\max (dp[i][j],dp[i?1][j?k?v[i]]+k?w[i])0\le k\le c[i]$$

二進(jìn)制優(yōu)化

因?yàn)槊總€(gè)數(shù)都可以被表示成二進(jìn)制形式。

二進(jìn)制優(yōu)化就是將物品的個(gè)數(shù) $c[i]$ 拆分成二進(jìn)制形式，將多個(gè)物品捆綁成 $2^i$ 個(gè)形式。

然后通過捆綁后的多重組合，能夠組合出原來 $0～c[i]$ 的所有選擇。

i.e. 物品個(gè)數(shù)為 $12$，就拆分成 $1(2^0)+2(2^1)+4(2^2)+5$，因?yàn)槭Ｏ碌牟蛔憷?#xff0c;就單獨(dú)拎出來處理。

會(huì)發(fā)現(xiàn)這四個(gè)數(shù)就能組合出選擇 $0～12$ 個(gè)物品的情況。

這就將第三維度枚舉放的物品個(gè)數(shù)從 $O(c[i])$ 降到了 $O(\log c[i])$。

如果將所有信息看成同階，則復(fù)雜度為 $O(n^2\log n)$。

#include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 105 #define maxm 100005 int f[maxm], a[maxn], c[maxn]; int n, m;int main() {while( scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) );f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int k = 1;while( c[i] >= k ) {c[i] -= k;for( int j = m;j >= a[i] * k;j -- )f[j] |= f[j - a[i] * k];k <<= 1;}if( c[i] ) {for( int j = m;j >= a[i] * c[i];j -- )f[j] |= f[j - a[i] * c[i]];}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0; }

單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化

因?yàn)槟撤N物品盡管有很多個(gè)，但是體積是一樣的。

每次都會(huì)占用背包的 $v[i]$ 體積。

所以如果原來背包的容量為 $j$，那么只會(huì)轉(zhuǎn)移給 $j+v[i],j+v[i]?2,...,j+v[i]?c[i]$，這些容量在 $\%v[i]$ 下同余。

將背包容量 $j$，按照 $\%v[i]$ 的余數(shù)分類考慮，顯然兩個(gè)不同的余數(shù)是不會(huì)相互轉(zhuǎn)移的。

式子化地，令 $a=j/v[i],b=j\%v[i]?j=a?v[i]+b$

$f[i][j]=\max \{f[i?1][j?k?v[i]]+k?w[i]\}?f[i][j]=\max \{f[i?1][(a?k)?v[i]+b]+k?w[i]\}$

$k(0\le k\le c[i])$ 反正都是枚舉的變量，不妨令 $k=a?k$

則 $f[i][j]=\max \{f[i?1][k?v[i]+b]+(a?k)?w[i]\}$

整理得，$f[i][j]=\max \{f[i?1][k?v[i]+b]?k?w[i]\}+a?w[i](a?c[i]\le k\le a)$

換種形式表達(dá) $k$ 的范圍：$j/v[i]?c[i]]\le k\le j/v[i]$

是關(guān)于 $j$ 的不減函數(shù)，一段區(qū)間，所以可以用單調(diào)隊(duì)列優(yōu)化。

時(shí)間復(fù)雜度是 $O(nV)$，就沒有 $log$ 了。

#include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 100005 int n, m, head, tail; int f[maxn], a[maxn], c[maxn], q[maxn];int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) ); f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( c[i] == 1 ) {for( int j = m;j >= a[i];j -- ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}if( a[i] * c[i] >= m ) {for( int j = a[i];j <= m;j ++ ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}for( int j = 0;j < a[i];j ++ ) {head = 1, tail = 0;for( int k = j;k <= m;k += a[i] ) {while( head <= tail and q[head] < k - a[i] * c[i] ) head ++;if( ! f[k] ) f[k] |= ( head <= tail );else q[++ tail] = k;}}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】多重背包相关优化——二进制优化/单调队列优化的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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