problem

AtCoder

solution

注意：本題不是平等博弈，因為先手只能取最左邊，后手只能取最右邊。

設 $f[l][r][k]:$ 只剩下區間 $[l,r]$ 等待操作，第 $l$ 堆石子數量為 $k$ 的時候，先手是否必勝。

同理，$g[l][r][k]:$ 只剩下區間 $[l,r]$ 等待操作，第 $r$ 堆石子數量為 $k$ 的時候，后手是否必勝。

顯然，如果 $f/g[l][r][k]$ 可以必勝，那么 $f/g[l][r][k+1]$ 也能必勝，無非是有次操作多取一顆石子。

所以不妨設 $f[l][r]:$ 只剩下區間 $[l,r]$ 操作，先手必勝時第 $l$ 堆石子數量至少為多少。

同理可得，$g[l][r]:$ 只剩下區間 $[l,r]$ 操作，后手必勝時第 $r$ 堆石子數量至少為多少。

接下來考慮轉移，轉移都只與 $f[l][r?1],g[l+1][r]$ 有關。

• $f[l][r]$

  • 若 $g[l+1][r]>a[r]$。

    那么先手可以直接取完 $l$ 堆，使得后手面臨 $[l+1,r]$ 的必敗局面。

    因此只需要保證 $l$ 堆有石子就行了。

    $f[l][r]=1$

  • 若 $g[l+1][r]\le a[r]$

    那么先手肯定不能一次取完使后手處于必勝局面。只能一個一個地取。

    我們知道至少取 $f[l][r]?f[l][r?1]+1$ 個石子后，先手就會因接下來后手的操作陷入必敗狀態。

    因為此時 $l$ 堆石子個數 $<f[l][r?1]$，后手直接取完 $r$ 堆，留給先手的就是 $[l,r?1]$ 的必敗狀態了。

    而后手則至少取 $a[r]?g[l+1][r]+1$ 個就會陷入必敗狀態。原因同上。也就是說后手也不敢一次取完，只能一個一個地取。

    此時想要先手獲勝，必須先手更晚進入必敗狀態。

    即 $f[l][r]?f[l][r?1]+1>a[r]?g[l+1][r]+1$

    $?f[l][r]>a[r]?g[l+1][r]+f[l][r?1]$。

    $f[l][r]=a[r]?g[l+1][r]+f[l][r?1]+1$

• $g[l][r]$

  • 若 $f[l][r?1]>a[l]$。

    那么后手可以直接取完 $r$ 堆，使得先手面臨 $[l,r?1]$ 的必敗局面。

    因此只需要保證 $r$ 堆有石子就行了。

    $g[l][r]=1$

  • 若 $f[l][r?1]\le a[l]$

    那么后手肯定不能一次取完使先手處于必勝局面。只能一個一個地取。

    后手至少取 $g[l][r]?g[l+1][r]+1$ 個就會陷入必敗狀態。

    先手至少取 $a[l]?f[l][r?1]+1$ 個就會陷入必敗狀態。

    此時必須后手更晚進入必敗狀態。

    即 $g[l][r]?g[l+1][r]+1>a[l]?f[l][r?1]+1$

    $?g[l][r]>a[l]+g[l+1][r]?f[l][r?1]$。

    $g[l][r]=a[l]+g[l+1][r]?f[l][r?1]+1$

區間 $dp$ 轉移即可，時間復雜度 $O(n^2)$。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 105 #define int long long int T, n; int a[maxn]; int f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {memset( f, 0, sizeof( f ) );memset( g, 0, sizeof( g ) );scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );for( int len = 2;len <= n;len ++ )for( int l = 1;l <= n;l ++ ) {int r = l + len - 1;if( r > n ) break;if( g[l + 1][r] > a[r] ) f[l][r] = 1;else f[l][r] = a[r] + f[l][r - 1] - g[l + 1][r] + 1;if( f[l][r - 1] > a[l] ) g[l][r] = 1;else g[l][r] = a[l] + g[l + 1][r] - f[l][r - 1] + 1;}if( f[1][n] <= a[1] ) printf( "First\n" );else printf( "Second\n" );}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[AtCoder Grand Contest 048] D - Pocky Game（区间dp + 博弈）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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