problem

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solution

一個 $A_i$ 只會影響一個 $B_i$，$B_i$ 之間的決定因素 $A$ 是不會有交的。

所以如果相鄰兩個對同一個 $B_i$ 影響的 $A_{2i},A_{2i?1}$ 都是確定的，那么 $B_i$ 也就確定了。

這是不會對方案數產生貢獻的，提前預處理掉這些位置，接下來的計算不考慮這些出現的值。

同時，如果都不確定，這些配對位置的值可以互換，即原本 $?1$ 的位置是無序的，所以最后的答案要乘上一個階乘。

$B_i$ 是取較小值，容易想到從大到小考慮填的數，那么$B_i$ 就僅由 $A_{2i},A_{2i?1}$ 后填的數決定。

下面將 $A_{2i?1},A_{2i}$ 沒全填的稱為“未配對”。

設 $f(i,j,k):$ 已考慮到數第 $i$ 大時，有 $j$ 個明確指定的數還未配對，有 $k$ 個原本未知 $?1$ 然后填了個數也還未配對 的方案數。

考慮由 $f(i,j,k)$ 轉移到 $i+1$，即 $A_{i+1}$ 的配對情況。

• 如果 $A_{i+1}$ 原本是指定的數，$A_{i+1}=?1$。

  • 可以和未知數配對，$f(i,j,k)\to f(i+1,j,k?1)$。
  • 可以新增一個已知數的未配對，$f(i,j,k)\to f(i,j+1,k)$。

• 如果 $A_{i+1}=?1$，未知。

  • 可以新增一個未知數的未配對，$f(i,j,k)\to f(i,j,k+1)$。

  • 可以和未知數配對，$f(i,j,k)\to f(i+1,j,k?1)$。

  • 可以和已知數配對，$f(i,j,k)\times j\to f(i+1,j?1,k)$。

    因為已知數的位置是固定的，所以 $A_{i+1}$ 和 $j$ 個已知數配對都是不同的情況。

    而和未知數的配對是不考慮 $\times k$ 的。本來位置就不固定，在最后的階乘時候已經算入了，這里再乘就算重了。

初始狀態 $f(0,0,0)=1$。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define mod 1000000007 #define int long long #define maxn 605 int n, m, cnt, fac; int a[maxn], c[maxn], g[maxn]; int f[maxn][maxn][maxn];signed main() {scanf( "%lld", &n ), n <<= 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i += 2 ) {if( a[i] == -1 and a[i + 1] == -1 ) cnt ++;else if( ~ a[i] and ~ a[i + 1] ) g[a[i]] = g[a[i + 1]] = 2;else {if( ~ a[i] ) g[a[i]] = 1;else g[a[i + 1]] = 1;}}for( fac = 1;cnt;fac = fac * cnt % mod, cnt -- );for( int i = n;i;i -- ) if( g[i] ^ 2 ) c[++ m] = i;f[0][0][0] = 1;for( int i = 0;i < m;i ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )for( int k = 0;k <= n;k ++ )if( ! f[i][j][k] ) continue;else if( g[c[i + 1]] ) { //已知數( f[i + 1][j + 1][k] += f[i][j][k] ) %= mod; //新增一個未匹配的已知數if( k ) ( f[i + 1][j][k - 1] += f[i][j][k] ) %= mod; //和未知數匹配}else { //未知數( f[i + 1][j][k + 1] += f[i][j][k] ) %= mod; //新增一個未匹配的未知數if( j ) ( f[i + 1][j - 1][k] += f[i][j][k] * j % mod ) %= mod; //和已知數配對if( k ) ( f[i + 1][j][k - 1] += f[i][j][k] ) %= mod; //和未知數匹配}printf( "%lld\n", f[m][0][0] * fac % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AtCoder4515 [AGC030F] Permutation and Minimum（dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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