problem

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solution

看到這個 $20\%$ 的特殊性質，腦海里第一個就想到了隨機化算法。已經PTSD了著實上頭

如果本題只是隨便求一個 $\text{interesting}$ 的點，那就非常簡單了。

隨機化一個點，檢查這個點是否滿足 $\text{interesting}$ 的限制即可。

如果判斷一個點是否是 $\text{interesting}$ 的點？以該點為根建立 dfs-tree。如果只有樹邊和返祖邊，沒有一條橫叉邊，那么這個點就是“有趣點”。

一次判斷的復雜度是 $O(n)$ 的。

執行 $\min (100,n)$ 次，正確率就高達 $1?(\frac{4}{5}{)}^{100}$。

雖然很簡單，但是本題的正解就是建立在這種隨機的基礎上的。

我們不能求出所有點，但是可以快速通過隨機求出一個 $\text{interesting}$ 點，記為 $id$。

以 $id$ 為根，建立 dfs-tree ，那么這棵樹是沒有橫叉邊的。

考慮能否在這棵樹上求出所有的 $\text{interesting}$ 點。

顯然是可以的，需要用到幾個小性質。

定理1 樹上一個非根節點 $u$ 的子樹內至少會有一條連向子樹外的邊（跨過 $u$），即返祖邊。

這是顯然的，因為題目保證點兩兩之間是可以互達的。

定理2 如果樹上一個非根節點 $u$ 的子樹內有不止一條連向子樹外的邊，則該點不是 $\text{interesting}$ 點。

• 如果兩條返祖邊都指向同一個祖先，也就意味著 $u$ 有兩條到達這個祖先的路徑。
• 如果兩條返祖邊指向不同的祖先，但這兩組先之間也存在祖先后輩關系，相當于到某個輩分較小的祖先也有兩條路徑。

定理3 如果樹上一個非根節點 $u$ 的子樹內只有一條連向子樹外的邊，$u$ 是“有趣點” 當且僅當這條返祖邊連向的祖先也是“有趣點”。

這也是顯然的。$u$ 到這個祖先是一條簡單路徑，祖先不是“有趣點”就意味著祖先到某個點有不止一條路徑。傳遞過來等價于 $u$ 到某個點也有不止一條路徑。

請時刻注意，根 $id$ 一定是“有趣點”，樹一定沒有橫叉邊。

所以我們可以通過 dfs 來完成篩選。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 100005 bool flag; int T, n, m; vector < int > ans, G[maxn]; int dep[maxn], low[maxn], cnt[maxn], vis[maxn]; bool bad[maxn];void dfs_good( int u ) {if( ! flag ) return;vis[u] = 1;for( int v : G[u] )if( ! vis[v] ) dfs_good( v );else if( vis[v] == 2 ) { flag = 0; return; }vis[u] = 2; }int dfs( int u ) {vis[u] = 1, low[u] = u;for( int v : G[u] )if( ! vis[v] ) {dep[v] = dep[u] + 1;cnt[u] += dfs( v );if( dep[low[v]] < dep[low[u]] ) low[u] = low[v];} //為什么選深度最小的點呢？因為這個點的輩分最大 能跨過這個點的返祖邊對應的點越少else {cnt[u] ++, cnt[v] --;//因為之前是直接把后代的返祖邊加上來的，但是這些返祖邊對于這個祖先而言還是后代之間的連邊 并未跨過這個祖先if( dep[v] < dep[low[u]] ) low[u] = v;}if( cnt[u] > 1 ) bad[u] = 1;return cnt[u]; }void dfs_bad( int u ) {vis[u] = 1;if( bad[low[u]] ) bad[u] = 1;for( int v : G[u] ) if( ! vis[v] ) dfs_bad( v ); }int main() {mt19937 wwl(time(0));scanf( "%d", &T );while( T -- ) {ans.clear();for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {G[i].clear();low[i] = bad[i] = dep[i] = cnt[i] = vis[i] = 0;}scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1, u, v;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );}uniform_int_distribution < int > range( 1, n );int id = -1;for( int t = 1;t <= 100;t ++ ) {flag = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;id = range( wwl );dfs_good( id );if( flag ) break;}if( ! flag ) { puts( "-1" ); continue; }for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;dfs( id );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) vis[i] = 0;dfs_bad( id );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( ! bad[i] ) ans.push_back( i );sort( ans.begin(), ans.end() );if( ans.size() * 5 < n ) printf( "-1" );else for( int i : ans ) printf( "%d ", i );printf( "\n" );}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces 1361E James and the Chase（dfs + 结论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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