problem

給定 $n$ 個城市，$n?1$ 條道路，形成一棵樹。每座城市上的人口為 $w_i$。

現(xiàn)要修建若干個中心城鎮(zhèn)，滿足任意兩個中心城鎮(zhèn)之間的距離嚴(yán)格大于 $k$。

最大化中心城鎮(zhèn)的總?cè)丝凇?/p>

$n,k\le 10^6,w_i\le 10^9$。

solution

這種限制樹上關(guān)鍵點彼此之間距離是比較經(jīng)典的題目了，通常都會考慮 $u$ 子樹內(nèi)離 $u$ 最近的關(guān)鍵點的距離為多少，設(shè)計狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

有非常套路的樹背包，設(shè) $f_{u,i}:u$ 子樹內(nèi)離 $u$ 最近的關(guān)鍵點深度為 $i$（此深度是以 $1$ 為根意義下，在整棵大樹中的深度）的最多人口數(shù)。

有 $f_{u,0}=w_u$。考慮逐個加入 $u$ 的子樹 $v$。

• $(i?dep[u])<<1>k$

  $g_{u,i}\leftarrow f_{u,i}+f_{v,i}$

• $(i?dep[u])<<1\le k$

  $g_{u,i}=\max \{g_{u,i+1},f_{u,i}+f_{v,k+2dep[u]?i+1},f_{u,l+2dep[u]?i+1}+f_{v,i}\}$

• $g_{u,dep[u]}=\max \{g_{u,dep[u]+1},f_{u,0}+f_{v,de{p}_u+k+1}\}$

最后更新回去 $f\leftarrow g$。

所求即為 $f_{1,0}$。

事實上，有用的只有 $i\in [dep[u],dep[u]+k]$，這是 $O(nk)$ 的。

事實上，有用的只有 $i\in [dep[u],dep[u]+le{n}_u]$，其中 $le{n}_u:u$ 子樹的高度（鏈長度），長鏈剖分優(yōu)化，時間復(fù)雜度就只有 $O(n)$。

$f_{u,i}:u$ 子樹內(nèi)離 $u$ 最近的關(guān)鍵點，二者的相對距離為 $i$ 的最多人口數(shù)。

excuse me？？？

動態(tài)數(shù)組我真的會謝，卷爺 $\text{vector}$ 都能跑過去，這是什么人啊！

code(vector—MLE)

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1000005 #define int long long vector < int > G[maxn], f[maxn]; int n, k, ans; int w[maxn], g[maxn], len[maxn], son[maxn];void dfs1( int u, int fa ) {for( int v : G[u] ) {if( v == fa ) continue;else dfs1( v, u );if( len[son[u]] < len[v] ) son[u] = v;}len[u] = len[son[u]] + 1; }void dfs2( int u, int fa ) {f[u].resize( len[u] + 1 );f[u][0] = w[u];if( son[u] ) {dfs2( son[u], u );for( int i = 1;i < len[u];i ++ ) f[u][i] = f[son[u]][i - 1];if( k < len[u] ) f[u][0] += f[son[u]][k - 1];f[u][0] = max( f[u][0], f[son[u]][0] );}ans = max( ans, f[u][0] );for( int v : G[u] ) {if( v == fa or v == son[u] ) continue;else dfs2( v, u );for( int i = 0;i <= len[v];i ++ ) g[i] = f[u][i];for( int i = 0;i <= k and i <= len[v];i ++ ) {if( i > ( k >> 1 ) ) {if( i ) g[i] += f[v][i - 1];}else {if( 0 <= k - i - 1 and k - i - 1 < len[v] )g[i] = max( g[i], f[u][i] + f[v][k - i - 1] );if( 0 <= i - 1 and k - i < len[u] )g[i] = max( g[i], f[u][k - i] + f[v][i - 1] );}if( i ) g[i] = max( g[i], f[v][i - 1] );}for( int i = len[v];~ i;i -- ) {f[u][i] = g[i];if( i + 1 < len[u] ) f[u][i] = max( f[u][i], f[u][i + 1] );ans = max( ans, f[u][i] );}} }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k ); k ++;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &w[i] );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs1( 1, 0 );dfs2( 1, 0 );printf( "%lld\n", ans );return 0; }

code(動態(tài)數(shù)組—AC)

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1000005 #define int long long vector < int > G[maxn]; int *f[maxn], *ip; int pos[maxn << 2]; int n, k, ans; int w[maxn], g[maxn], len[maxn], son[maxn];void dfs1( int u, int fa ) {for( int v : G[u] ) {if( v == fa ) continue;else dfs1( v, u );if( len[son[u]] < len[v] ) son[u] = v;}len[u] = len[son[u]] + 1; }void dfs2( int u, int fa ) {// f[u].resize( len[u] + 1 );f[u][0] = w[u];if( son[u] ) {f[son[u]] = f[u] + 1;dfs2( son[u], u );// for( int i = 1;i < len[u];i ++ ) f[u][i] = f[son[u]][i - 1];if( k < len[u] ) f[u][0] += f[son[u]][k - 1];f[u][0] = max( f[u][0], f[son[u]][0] );}ans = max( ans, f[u][0] );for( int v : G[u] ) {if( v == fa or v == son[u] ) continue;else f[v] = ip, ip += len[v], dfs2( v, u );for( int i = 0;i <= len[v];i ++ ) g[i] = f[u][i];for( int i = 0;i <= k and i <= len[v];i ++ ) {if( i > ( k >> 1 ) ) {if( i ) g[i] += f[v][i - 1];}else {if( 0 <= k - i - 1 and k - i - 1 < len[v] )g[i] = max( g[i], f[u][i] + f[v][k - i - 1] );if( 0 <= i - 1 and k - i < len[u] )g[i] = max( g[i], f[u][k - i] + f[v][i - 1] );}if( i ) g[i] = max( g[i], f[v][i - 1] );}for( int i = len[v];~ i;i -- ) {f[u][i] = g[i];if( i + 1 < len[u] ) f[u][i] = max( f[u][i], f[u][i + 1] );ans = max( ans, f[u][i] );}} }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &k ); k ++;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &w[i] );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs1( 1, 0 );ip = pos;f[1] = ip;ip += len[1];dfs2( 1, 0 );printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的中心城镇问题（长链剖分优化树形dp）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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