problem

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solution

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi (ij)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{\phi (i)\phi (j)\gcd (i,j)}{\phi (\gcd (i,j))}$$$$=\sum _{d=1}^{\min (n,m)}\frac{d}{\phi (d)}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi (i)\phi (j)[(i,j)=d]$$$$=\sum _{d=1}^{\min (n,m)}\frac{d}{\phi (d)}\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}\sum _{j=1}^{?\frac{m}{d}?}\phi (id)\phi (jd)[(i,j)=1]$$$$=\sum _{d=1}^{\min (n,m)}\frac{d}{\phi (d)}\sum _{i=1}^{?\frac{n}{d}?}\sum _{j=1}^{?\frac{m}{d}?}\phi (id)\phi (jd)\sum _{k|(i,j)}\mu (k)$$$$=\sum _{d=1}^{\min (n,m)}\frac{d}{\phi (d)}\sum _{k=1}^{\min (?\frac{n}{d}?,?\frac{m}{d}?)}\mu (k)\sum _{i=1}^{?\frac{n}{dk}?}\phi (ikd)\sum _{j=1}^{?\frac{m}{dk}?}\phi (jkd)$$$$\Vert t=dk?k=\frac{t}{d}$$$$=\sum _{t=1}^{\min (n,m)}\sum _{d|t}\frac{d}{\phi (d)}\mu (\frac{t}{d})+\sum _{i=1}^{?\frac{n}{t}?}\phi (it)\sum _{j=1}^{?\frac{m}{t}?}\phi (jt)$$

令 $f(t)={\sum }_{d|t}\frac{d}{\phi (d)}\mu (\frac{t}{d})$，在 $O(n\log n)$ 的時間內預處理。

設 $g(a,b)={\sum }_{i=1}^b\phi (i?a)$。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi (ij)?\sum _{i=1}^{\min (n,m)}f(i)?g(i,?\frac{n}{i}?)?g(i,?\frac{m}{i}?)$$注意到有用的 $g(a,b)$ 均滿足 $ab\le \max (n,m)$，可以用動態二維數組預處理。

根據定義容易得遞推式 $:g(a,b)=g(a,b?1)+\phi (ab)$。

設前綴和 $s(x,y,n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)g(i,x)g(i,y)$，則有遞推式 $s(x,y,n)=s(x,y,n?1)+f(n)g(n,x)g(n,y)$。

設定一個閾值 $B$，預處理所有 $x\le B\wedge y\le B$ 的 $s(x,y,z)$，此時還滿足 $z\le \frac{n}{\max (x,y)}$，同理用動態三維數組存。

詢問時枚舉 $i$。
對于 $?\frac{n}{i}?\le B\wedge ?\frac{m}{i}?\le B$ 直接暴力求 $f(i)g(i,?\frac{n}{i}?)g(i,?\frac{m}{i}?)$（反正都是預處理過的信息）。

其余部分利用預處理的前綴和 $s(x,y,z)$ 直接整除分塊計算。

假設當 $i\in [l,r]$ 時，$?\frac{n}{i}?,?\frac{m}{i}?$ 均相同，即 $f(i)g(i,?\frac{n}{i}?)g(i,?\frac{m}{i}?)$ 相同，

則 ${\sum }_{i=l}^{r}f(i)g(i,x)g(i,y)=s(x,y,r)?s(x,y,l?1)$。

查詢時間復雜度 $O(T\frac{n}{B}+T\sqrt{n})$，預處理時間 $O(n\log n+nB)$，空間復雜度 $O(nB)$。

當 $B=n^{\frac{1}{3}}$ 時復雜度較優秀。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define mod 998244353 #define maxn 100005 #define maxB 60 int *g[maxn], *s[maxB][maxB]; int mu[maxn], phi[maxn], prime[maxn], f[maxn]; bool vis[maxn]; int cnt;int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans; }void sieve( int n = 1e5, int B = 50 ) {mu[1] = phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ ) {if( ! vis[i] ) {prime[++ cnt] = i;phi[i] = i - 1;mu[i] = -1;}for( int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] <= n;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {mu[i * prime[j]] = 0;phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] % mod;break;}else {mu[i * prime[j]] = -mu[i];phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]] % mod;}}}for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = i;j <= n;j += i )( f[j] += i * qkpow( phi[i], mod - 2 ) % mod * mu[j / i] ) %= mod;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {g[i] = new int [n / i + 5];g[i][0] = 0;for( int j = 1;i * j <= n;j ++ )g[i][j] = ( g[i][j - 1] + phi[i * j] ) % mod;}for( int i = 1;i <= B;i ++ )for( int j = 1;j <= B;j ++ ) {s[i][j] = new int [n / max( i, j ) + 5];s[i][j][0] = 0;for( int k = 1;k * max( i, j ) <= n;k ++ )s[i][j][k] = ( s[i][j][k - 1] + f[k] * g[k][i] % mod * g[k][j] ) % mod;} }signed main() {sieve();int T, n, m, B = 50;scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &m );if( n > m ) swap( n, m );int ans = 0;for( int i = 1;i <= m / B;i ++ )( ans += f[i] * g[i][n / i] % mod * g[i][m / i] ) %= mod;for( int l = m / B + 1, r;l <= n;l = r + 1 ) {r = min( n / ( n / l ), m / ( m / l ) );( ans += s[n / l][m / l][r] - s[n / l][m / l][l - 1] ) %= mod;}printf( "%lld\n", ( ans + mod ) % mod );}return 0; }

總結

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