problem

有兩個(gè)國(guó)家，國(guó)家 $A$ 有 $n$ 座城市，國(guó)家 $B$ 有 $m$ 座城市，兩個(gè)國(guó)家間有若干條單向航線。

具體地，有長(zhǎng)度為 $n$ 的數(shù)組 $a$ 和長(zhǎng)度為 $m$ 的數(shù)組 $b$。國(guó)家 $A$ 的第 $i$ 座城市有單向航線可以到達(dá)國(guó)家 $B$ 的 $1～a_i$ 號(hào)城市。國(guó)家 $B$ 的第 $i$ 座城市有單向航線可以到達(dá)國(guó)家 $A$ 的 $1～b_i$ 號(hào)城市。

定義一次膜拜為：共 $n+m$ 座城市，任選一座出發(fā)，沿著單向航線走，不重復(fù)經(jīng)過城市，最后回答出發(fā)城市的過程，即一個(gè)簡(jiǎn)單有向環(huán)。

要求若干次膜拜加在一起，經(jīng)過 $A$ 國(guó)家的城市 $i$ 不超過 $c_i$ 次，經(jīng)過 $B$ 國(guó)家城市 $i$ 不超過 $d_i$ 次。

在一次膜拜中起終點(diǎn)相同，但仍然認(rèn)為起點(diǎn)只經(jīng)過了一次。

最大化膜拜次數(shù)并輸出。

solution

這個(gè)單向航線很特別，能到達(dá)對(duì)面的城市一定是從 $1$ 開始編號(hào)的連續(xù)一段。

有個(gè)結(jié)論：每次膜拜的路線一定是個(gè)二元環(huán)。

二元環(huán)可以用 $\text{dinic}$ 網(wǎng)絡(luò)流 $O(n^2\sqrt{n})$ / 匈牙利最大匹配 $O(n^3)$ 跑。

左部點(diǎn)為 $A$ 國(guó)城市，右部點(diǎn)為 $B$ 國(guó)城市。

當(dāng)滿足 $a_i\ge j\wedge b_j\ge i$ 時(shí)，左部 $i$ 點(diǎn)和右部 $j$ 點(diǎn)連一條邊。

因?yàn)闊o法通過此題，我們考慮能否模擬這個(gè)最大流的過程。

將 $A$ 國(guó)城市限制當(dāng)作 $(i,a_i)$，$B$ 國(guó)城市限制當(dāng)作 $(b_i,i)$，投放到二維平面上。

發(fā)現(xiàn)，在二維平面圖上，對(duì)于 $A$ 國(guó)城市 $i$，與其有單向航線的城市都在其下方。對(duì)于 $B$ 國(guó)城市 $j$，與其有單向航線的城市都在其左側(cè)。

所以，$A$ 國(guó)城市 $i$ 只能和其右下方的 $B$ 城市點(diǎn)進(jìn)行匹配，才能形成二元環(huán)。

將 $A$ 國(guó)城市按 $a_i$ 分類，然后枚舉 $y=a$ 常直線，像掃描線一般上移，順便加入新的 $B$ 國(guó)城市點(diǎn)。

貪心地，城市 $i$ 會(huì)和離自己最近的 $B$ 國(guó)城市匹配（這個(gè)距離單指 $x$ 軸上的距離）。

大概就是更遠(yuǎn)的有更多適配情況，先將要求較嚴(yán)苛的匹配了來。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 500005 int n, m; int a[maxn], b[maxn], c[maxn], d[maxn]; multiset < pair < int, int > > s; vector < int > g[maxn];int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%d", &b[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%d", &d[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) g[a[i]].push_back( i );long long ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {s.insert( make_pair( b[i], d[i] ) );for( int k : g[i] ) {while( ! s.empty() ) {auto it = s.lower_bound( make_pair( k, 0 ) );if( it == s.end() ) break;pair < int, int > t = *it;s.erase( it );if( t.second > c[k] ) {t.second -= c[k];ans += c[k];c[k] = 0;s.insert( t );break;}else c[k] -= t.second, ans += t.second;}}}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的膜拜大丹（结论+二元环）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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