problem

定義長度為 $n$ 的“好”的串 $a$ 滿足：

• $|a_i?a_{i?1}|=1,i\in [2,n]$。
• $a_i\ge \frac{a_{i?1}+a_{i+1}}{2},i\in [2,n?1]$。

給定長度為 $n$ 的序列 $a,v$，每次選擇一段 $a$ 的“好”子串刪除，剩下的子串拼接在一起。

若刪除子串長度為 $x$，則會獲得 $v_x$ 的價值。

不一定要刪完，求最大價值。

$n\le 400,|v_i|\le 1e5,1\le a_i\le 1e9$。

solution

observation：子串要么是單增，要么是單減，要么是先單增后單減，即/，\，/\。顯然 \/ 情況下的最低點無法滿足條件 $2$。

先不考慮“不一定全刪完”，我們就要求必須刪完。

設 $f_{l,r}:[l,r]$ 全部刪完的最大價值。顯然是區間 $dp$ 轉移。（$dp$ 轉移就是要歸到子問題上）

• 考慮最后一次刪除 $l,r$ 不是一起被刪的，那么肯定存在一個中間點 $p$ 分割這段區間。

  即 $f_{l,r}\leftarrow f_{l,p}+f_{p+1,r}$。

• 考慮最后一次刪除 $l,r$ 是一起被刪的。

  那么我們就需要知道最后一次的單增/單減序列的價值。

  設 $g_{l,r}:[l,r]$ 刪到只剩一個單增序列的最大價值。

  設 $h_{l,r}:[l,r]$ 刪到只剩一個單減序列的最大價值。

  我們直接枚舉兩個序列的交點，即最高點 $i$。

  $f_{l,r}\leftarrow g_{l,i}+h_{i,r}+v(a_i?2?a_l?a_r+1)$。

  當然還有只有單增/單減情況，但要求 $a_l,a_r$ 滿足相應大小關系。

  $f_{l,r}\leftarrow g_{l,r}+v(a_r?a_l+1)a_l\le a_r$。

  $f_{l,r}\leftarrow h_{l,r}+v(a_l?a_r+1)a_l\ge a_r$。

  至于 $g,h$ 的轉移，同樣枚舉接在 $r$ 前的元素 $i$，即可變成子問題。

  $g_{l,r}\leftarrow g_{l,i}+f_{i+1,r?1}{a}_i+1=a_r$。

  $h_{l,r}\leftarrow h_{l,i}+f_{i+1,r?1}{a}_i?1=a_r$。

最后再來個 $d{p}_i:[1,i]$ 一定刪掉 $[k,i]$ 連續一段，但前面不要求刪完的最大價值。

枚舉 $j$，$d{p}_j+f_{k,i}\to d{p}_i$，前綴最大值優化，轉移，$d{p}_n$ 就是最后的結果了。

時間復雜度 $O(n^3)$。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 405 #define int long long #define inf 0x3f3f3f3f int n; int v[maxn], a[maxn], dp[maxn]; int f[maxn][maxn], g[maxn][maxn], h[maxn][maxn];signed main() {freopen( "good.in", "r", stdin );freopen( "good.out", "w", stdout );scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &v[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );//f[l][r]:刪完[l,r]的最大價值for( int l = n;l;l -- )for( int r = l;r <= n;r ++ ) {f[l][r] = g[l][r] = h[l][r] = -inf;g[l][l] = h[l][l] = 0;for( int i = l;i <= r;i ++ ) {f[l][r] = max( f[l][r], f[l][i] + f[i + 1][r] );//case1 枚舉斷點if( a[i] - 1 == a[r] ) h[l][r] = max( h[l][r], h[l][i] + f[i + 1][r - 1] );//h[l][r]:將[l,r]刪到只剩一個下坡的最大價值 且l,r一定不被刪if( a[i] + 1 == a[r] ) g[l][r] = max( g[l][r], g[l][i] + f[i + 1][r - 1] );//g[l][r]:將[l,r]刪到只剩一個上坡的最大價值 且l,r一定不被刪if( a[l] <= a[i] and a[i] >= a[r] ) f[l][r] = max( f[l][r], g[l][i] + h[i][r] + v[(a[i] << 1) - a[l] - a[r] + 1] );//case2 枚舉最高點/連接點}if( a[l] <= a[r] ) f[l][r] = max( f[l][r], g[l][r] + v[a[r] - a[l] + 1] );//case3直接一個遞增序列無凸點if( a[l] >= a[r] ) f[l][r] = max( f[l][r], h[l][r] + v[a[l] - a[r] + 1] );//case4直接一個遞減序列無凸點}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {dp[i] = max( dp[i], dp[i - 1] );for( int j = i;j <= n;j ++ ) dp[j] = max( dp[j], dp[i - 1] + f[i][j] );//枚舉刪去[l,r]一段并加上前面剩下的最大值(利用前綴最大值優化dp)}printf( "%lld\n", dp[n] );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的删好串（区间dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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