problem

luogu-P3643

solution

有個顯然的暴力 $dp$。設 $dp(i,j):$ 到了第 $i$ 個學校，其參加且派出 $j$ 個劃艇的方案數。

枚舉上一個參加的學校以及派出的劃艇，則有轉移：$dp(i,j)={\sum }_{k<i,j<j}dp(k,j^{\prime })$。

可以再套個前綴和優化，但是由于第二維可以達到 $1e9$，并沒有起到關鍵性優化。

實際上我們并不關系真的派出了多少個劃艇，我們只在乎之間的滿足的遞增關系。

所以我們可以考慮離散化成 $O(2n)$ 個端點。$[a_i,a_{i+1})\to i$。

設 $f(i,j):$ 前 $i$ 所學校中，第 $i$ 所學校參賽，且派出的劃艇數屬于第 $j$ 個區間內的方案數。

• $\text{Lemma}:$ 從區間 $[0,L]$ 中取 $n$ 個數，要求所有非零數嚴格遞增，方案數為 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+n}{n}\right)$。

$\text{Proof}:$

• 沒有 $0$ 的情況，答案肯定是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L}{n}\right)$。因為如果確定了一種組合，那么方案也隨之確定，即為這個組合的從小到大排列。所以這二者存在一一對應的關系。
• 有 $0$ 。觀察這個序列 $\text{0?0?0?...?0?1?2?...?L}$。考慮從中選 $n$ 個數，取某個非零數 $i$ 對應沒取 $0$ 的第 $i$ 次選 $i$。

現在由于第 $i$ 所學校必須參賽，所以計算的時候 $0$ 的個數 $?1$。方案數即 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+m?1}{m}\right)$。

其中 $m$ 表示選劃艇個數包含第 $j$ 個區間的學校數量。

對于一個 $k$，對應方案數為 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+m?1}{m}\right){\sum }_{j^{\prime }<j}f(k,j^{\prime })$。

所以 $f(i,j)={\sum }_{k<i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+m?1}{m}\right){\sum }_{j^{\prime }<j}f(k,j‘)$。

此時再加前綴和優化，$sum(k,j)={\sum }_{j^{\prime }<j}f(k,j^{\prime })$。

則 $f(i,j)={\sum }_{k<i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L+m_k?1}{m_k}\right)sum(k,j)$。

時間復雜度 $O(n^3)$。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1005 #define int long long #define mod 1000000007 int n; int a[maxn], b[maxn], c[maxn], x[maxn], inv[maxn], sum[maxn];signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &a[i], &b[i] );x[i] = a[i], x[i + n] = b[i] + 1;}sort( x + 1, x + (n << 1 | 1) );int m = unique( x + 1, x + (n << 1 | 1) ) - x - 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {a[i] = lower_bound( x + 1, x + m + 1, a[i] ) - x;b[i] = lower_bound( x + 1, x + m + 1, b[i] + 1 ) - x;}sum[0] = c[0] = inv[1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ ) inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;for( int j = 1;j < m;j ++ ) {int len = x[j + 1] - x[j];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) c[i] = c[i - 1] * (i + len - 1) % mod * inv[i] % mod;//組合數下標不變 所以可以每一次j區間變化時再求for( int i = n;i;i -- ) {//由于i與i-1及前面的掛鉤所以不能從前往后更新if( a[i] <= j and j + 1 <= b[i] ) {int o = 1, fi = 0; //o為滿足條件的個數 由于是從后往前的枚舉所以o單調遞增 每碰到一個合法的k o就要+1for( int k = i - 1;~ k;k -- ) {fi = (fi + sum[k] * c[o]) % mod;if( a[k] <= j and j + 1 <= b[k] ) o ++;}sum[i] = (sum[i] + fi) % mod;}}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) (ans += sum[i]) %= mod;printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[APIO2016] 划艇（dp + 组合数 + 前缀和优化）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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