一、概述

你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂(lè)章；而你眼中那變化多端，復(fù)雜多樣的函數(shù)，實(shí)際只是由不同幅度（幅度譜），不同相位（相位譜）的正弦波所組成；而這神奇的函數(shù)變換規(guī)律，就來(lái)源于傅里葉變換，學(xué)習(xí)傅里葉變換，讓我們透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。
下面的圖是由不同的正弦波所構(gòu)成的矩形脈沖，它就像不同的齒輪相互嵌套旋轉(zhuǎn)所形成。

二、完備正交函數(shù)集

我們先從空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)開始討論，我們應(yīng)該怎樣去定位它，在二維空間中，我們采用了一個(gè)X,Y兩條坐標(biāo)軸去確定點(diǎn)在空間的位置，而在三維空間中，我們引入了Z軸，構(gòu)成三維的坐標(biāo)系。那倘若在N維的空間呢，我們不妨想想，坐標(biāo)的本質(zhì)是每?jī)蓷l的坐標(biāo)軸都互相垂直，如果我們能找到N條相互垂直的函數(shù)（函數(shù)的垂直是在一定的區(qū)間，函數(shù)內(nèi)積的積分為零），是不是就可以去確定在N維空間上的點(diǎn)。而這樣的函數(shù)集我們稱之為正交函數(shù)集。在正交函數(shù)集中，若不存在任何的非零函數(shù)，那么便稱之為完備正交函數(shù)集。例如：

三角函數(shù)完備正交集：sin 0,cos 0,sin x,cos x,sin2x,cos2x…sin nx,cos nx

傅里葉變換是從三角函數(shù)的正交性推導(dǎo)而來(lái)，這是之后推導(dǎo)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。可以任選其中的兩個(gè)三角函數(shù)加以證明。

三、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

由三角函數(shù)的正交性可知，一個(gè)周期函數(shù)可由完備正交函數(shù)集展開，即正交分解。假設(shè)有一個(gè)周期為2π的函數(shù)，那么它一定可以由前面的三角正交函數(shù)集分解，其形式為：

由上式可知，里面的未知變量有a0,an,bn。接下來(lái)，對(duì)它們進(jìn)行求解：

1. a0求解，對(duì)上述式子左右兩邊進(jìn)行定積分：
   注：其中cos0與cosnx或sinnx，由于它們是三角正交函數(shù)集的兩項(xiàng)，所以對(duì)它們的積分為零
2. an的求解，等式兩邊乘以cosmx，然后兩邊進(jìn)行定積分
   
3. bn的求解，等式兩邊乘以sin mx，然后兩邊進(jìn)行定積分
   
   對(duì)上式進(jìn)行整理，便可得到周期為2π的傅里葉級(jí)數(shù)的式子：
   
   注：其中的a0的求解值將1/2放到原式

傅里葉變換公式推導(dǎo)(二）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换公式推导（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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