problem

luogu

給一棵樹，對每一個節(jié)點染成黑色或白色。

對于每一個節(jié)點，求強制把這個節(jié)點染成黑色的情況下，所有的黑色節(jié)點組成一個聯(lián)通塊的染色方案數(shù)，答案對 $M$ 取模。

$1\le n\le 1e5,2\le M\le 1e9$。

solution

換根 $dp$。

設 $f(i):$ 以 $i$ 為根的子樹，$i$ 為黑色的合法方案數(shù)。（全局是以 $1$ 為根的）

則有：$f(u)={\prod }_{v\in so{n}_u}(f(v)+1)$。加一是整棵子樹全為白色的方案數(shù)。

設 $g(i):$ 以 $i$ 為根的子樹，$i$ 為黑色的合法方案數(shù)。（這里的子樹指代的是 $i$ 的祖先及兄弟，即去掉 $i$ 原來子樹的剩余部分）

顯然答案為 $f(i)?g(i)$。

考慮如何求出 $g(i)$。

對于一對父子關系 $f(u)=\prod (f(son)+1)$，其中就有兒子提供的一個貢獻 $f(v)+1$，我們需要去掉。

即，$g(v)=g(u)?\frac{\prod (f(son)+1)}{f(v)+1}$。

但是 $M$ 并不是質數(shù)，所以不能求逆元。

我們可以對每個 $u$ 維護出兒子貢獻 $\prod (f(v)+1)$ 的前綴積和后綴積。

只要知道某個兒子在其兒子中的編號即可。

具體可見代碼實現(xiàn)。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define maxn 100005 vector < int > pre[maxn], suf[maxn]; vector < int > G[maxn]; int f[maxn], g[maxn]; int n, mod; void dfs1( int u, int fa ) {f[u] = 1;for( int v : G[u] )if( v == fa ) continue;else dfs1( v, u ), f[u] = f[u] * (f[v] + 1) % mod;pre[u].resize( G[u].size() + 1, 1 );suf[u].resize( G[u].size() + 1, 1 );for( int i = 1;i < G[u].size();i ++ ) {pre[u][i] = pre[u][i - 1];if( G[u][i - 1] ^ fa ) pre[u][i] = pre[u][i] * (f[G[u][i - 1]] + 1) % mod;}for( int i = G[u].size() - 2;i >= 0;i -- ) {suf[u][i] = suf[u][i + 1];if( G[u][i + 1] ^ fa )suf[u][i] = suf[u][i] * (f[G[u][i + 1]] + 1) % mod;} } void dfs2( int u, int fa ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i];if( v == fa ) continue;g[v] = pre[u][i] * suf[u][i] % mod * g[u] % mod + 1;//加1是父親代表的子樹全為白 dfs2( v, u );} } signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &mod );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs1( 1, 0 );g[1] = 1;dfs2( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) printf( "%lld\n", g[i] * f[i] % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[AtCoder Educational DP Contest] V - Subtree（树形dp + 前缀积/后缀积）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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