文章目錄

• 歐拉定理：
• • 歐拉定理性質(zhì)：
  • 擴(kuò)展歐拉定理：
• 費(fèi)馬小定理：
• • 指數(shù)循環(huán)節(jié)
• 費(fèi)馬大定理
• 逆元：
• • 例題
• 原根
• • 定義：
  • 原根存在條件
  • 例題
• 快速冪
• • 代碼
• 矩陣快速冪
• • 原理：
  • 代碼：

歐拉定理：

a^φ(n)≡1 (mod n) ，其中 gcd(a,n)=1
歐拉函數(shù)是小于x的整數(shù)中與x互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。
歐拉函數(shù)模板

// 直接求 long long Euler( long long n ){long long res = n;for( long long i =2 ;i*i<=n;i++){if( n %i == 0 ){n/=i;res = res - res/i;}while( n % i==0)n/=i;}if( n > 1 )res = res - res/n;return res; }

歐拉定理性質(zhì)：

假設(shè) p, q是兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)，則 p * q 的歐拉函數(shù)為 φ(p * q) = φ§ * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

任意一個(gè)整數(shù) n 都可以表示為其素因子的乘積， 那么?(n) = n( 1?1/p1 )( 1?1/p2 )…( 1?1/pk ) ，

對(duì)于給定的一個(gè)素?cái)?shù) p ， φ( p ) = p -1。則對(duì)于正整數(shù) n = p^k ，φ(n) = p^k - p^k-1

擴(kuò)展歐拉定理：

當(dāng)(a,m)=1時(shí)，a^c≡a^{c mod φ(m)} (mod m)
可以直接指數(shù)取模，防止指數(shù)爆炸
推廣到一般情況：a^b≡a^{b mod φ(n)+φ(n)}(mod n)

費(fèi)馬小定理：

a^p?1≡1 (mod p) ，其中 gcd(a,p)=1 ，p為質(zhì)數(shù)
費(fèi)馬小定理是歐拉定理的一種特殊情況。
例題：
計(jì)算2^100除以13的余數(shù)

long long f(long a,long b,long n) //定義函數(shù)，求a的b次方對(duì)n取模 {int t,y;t=1;y=a;while(b!=0){if((b&1)==1)t=t*y%n;y=y*y%n;b=b>>1;}return t; }

相關(guān)：

指數(shù)循環(huán)節(jié)

求證a^b (%m)≡a^{b%φ(m)+φ(m)}(%m),其中b≥φ(m)

費(fèi)馬大定理

xⁿ + yⁿ = zⁿ（n >2時(shí)，沒有正整數(shù)解）

逆元：

對(duì)于a和p，若 a * inv(a) % p ≡ 1，則稱inv(a)為a%p的逆元。p為質(zhì)數(shù)

例題

逆元與費(fèi)馬小定理：hdu 1576

原根

定義：

設(shè)m是正整數(shù)，a是整數(shù)，若a模m的階等于φ(m)，則稱a為模m的一個(gè)原根。（φ(m)表示m的歐拉函數(shù)）
如果g是P的原根，那么gⁱ mod P的結(jié)果兩兩不同，有g(shù)^p-1 =1 (mod P) ,P是素?cái)?shù)

原根存在條件

原根存在的條件有以下幾個(gè)：
定理一：設(shè)p是奇素?cái)?shù)，則模p的原根存在； [3]
定理二：設(shè)g是模p的原根，則g或者g+p是模p²的原根；
定理三：設(shè)p是奇素?cái)?shù)，則對(duì)任意α，模p^α的原根存在；
定理四：設(shè)α>=1，若g是模p^α的一個(gè)原根，則g與g+p^α中的奇數(shù)是模2p^α的一個(gè)原根。

例題

Poj 1284 Primitive Roots

快速冪

這個(gè)就不介紹了。。。老熟人

代碼

ll poww(ll a,ll b) {int ans=1;int base=a;while(b){if(b&1)ans=ans*base%mod;base=base*base%mod;b>>=1;}return ans%mod; }

矩陣快速冪

由快速冪延伸而來，將數(shù)延伸為矩陣，原理類似

原理：

快速冪+矩陣
矩陣乘法：左矩陣的第一行乘以右矩陣的第一列（分別相乘），乘完后相加
單位矩陣： nn的矩陣 mat ( i , i )=1; 任何一個(gè)矩陣乘以單位矩陣就是它本身 n單位矩陣=n， 可以把單位矩陣等價(jià)為整數(shù)1。（單位矩陣用在矩陣快速冪中）

代碼：

typedef long long ll; const int mod = 1e9 + 7; const int MAXN = 10005;//矩陣的大小 struct Mat {ll m[MAXN][MAXN]; }ans, a;//ans為結(jié)果矩陣，a為輸入矩陣 Mat Mul(Mat a, Mat b, int n) {//計(jì)算矩陣a乘矩陣b，n為矩陣的大小Mat c;//臨時(shí)矩陣cmemset(c.m, 0, sizeof(c.m));for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)for (int k = 1; k <= n; k++)c.m[i][j] = (c.m[i][j] + (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod) % mod;return c; } Mat _power(Mat a, int b, int n) {//計(jì)算a^b，n為矩陣的大小for (int i = 1; i <= n; i++)//構(gòu)造單位矩陣ans[i][i] = 1;while (b) {if (b & 1)ans = Mul(ans, a, n);a = Mul(a, a, n);b >>= 1;}return ans; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论杂谈（欧拉定理与费马小定理结论与应用）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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