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題目描述

牛妹有一張連通圖，由n個點和n-1條邊構成，也就是說這是一棵樹，牛妹可以任意選擇一個點為根，根的深度dep_root為0，對于任意一個非根的點，我們將他到根節點路徑上的第一個點稱作他的父節點，例如1為根，1-4的；路徑為1-3-5-4時，4的父節點是5，并且滿足對任意非根節點，dep_i=dep_{fa i}+1,整棵樹的價值W= ，即所有點的深度和

牛妹希望這棵樹的W最小，請你告訴她，選擇哪個點可以使W最小
輸入描述:
第一行，一個數，n
接下來n-1行，每行兩個數x,y，代表x-y是樹上的一條邊
輸出描述:
一行，一個數，最小的W
示例1
輸入

4 1 2 1 3 1 4

輸出

3

備注:
對于30%30%的數據，1<= n<=1000
對于100%100%的數據，1<=n <=10⁶

題解1：

樹形dp+換根
用到的幾個函數：
dep[i]：節點i的深度
ant[i]：i的子樹的個數（含本身）
f[x]：以x為根的每個節點深度的和

圖一為以u為根節點
圖二為以v為根節點
從u轉到v 之后，圖二中黃色區域（u和子樹1和子樹2）根節點都加1（因為成為別人的子節點），綠色區域（v和根節點2）根節點減1（因為成為別人的根節點）
那轉換成公式是什么樣的？
f[v]=（f[u]-ant[v]）+(n-ant[v]);
怎么理解呢？
第一個括號里，是將圖二的綠色區域根節點減一，因為黃色區域一共ant[v]個節點，這個區域內每個節點都減1，所以整個區域f[u]要減ant[v].
第二個括號就是黃色區域每個節點都加一，那整個區域就加這個區域的節點數，這個區域的節點數=整個區域-綠色區域，所以就是n-ant[v]
我們從1開始dfs，求出每個節點的深度，即dep[]
然后再dfs求出每個點子樹數量,再dfs換成其他根，利用公式求出f來

代碼:

#include<bits/stdc++.h> #define forr(n) for(int i=1;i<=n;i++) typedef long long ll; using namespace std; const int maxn=1e6+3; struct node{int u,v,w,next; }edge[maxn<<1];//鏈式前項星 ll head[maxn<<1];//無向邊，所以乘2 ll dep[maxn];//節點的深度 ll ant[maxn];//節點x的子樹數量（包含本身） ll f[maxn];//以i為根的時候每個點深度的和 ll cnt=0; ll minn=1e7;ll n; void add(ll u,ll v) {edge[++cnt].v=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;} inline void init(ll n) {forr(n)f[1]+=dep[i];//在dfs1求完每個點深度后，接著求出以1為根的時候每個點深度的和 forr(n)ant[i]=1;//每個節點的子樹一開始都是本身 } ll v=0; void dfs1(ll now,ll fa) {for(ll i=head[now];i;i=edge[i].next){v=edge[i].v;if(v==fa)continue;dep[v]=dep[now]+1;dfs1(v,now);} }//以1為根節點開始，計算出每個節點的深度 void dfs2(ll now,ll fa) {for(ll i=head[now];i;i=edge[i].next){v=edge[i].v;if(v==fa)continue;dfs2(v,now);ant[now]+=ant[v]; } }//求出x節點的子樹數量 void dfs3(ll now,ll fa) {for(ll i=head[now];i;i=edge[i].next){v=edge[i].v;if(v==fa)continue;f[v]=f[now]-ant[v]+(n-ant[v]); dfs3(v,now);} } //從1開始換成其他根，并求出其他根的f值 int main() {cin>>n;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v);add(v,u);} dfs1(1,0);init(n);//初始化 dfs2(1,0);dfs3(1,0);forr(n){minn=min(minn,f[i]);} cout<<minn;return 0;}

仔細看會發現dfs1與dfs2結構相似，完全可以和在一起寫
或者用vector寫更簡潔

題解2：

我看有很多大佬都用重心的性質來做
樹的重心有一個這樣的性質：在樹中所有點到某點的距離和 當中，到樹的重心的距離和是最小的，如果有多個重心，那他們距離和一樣。
樹中所有點到重心的距離和最小，不就是我們要求的那個值嗎。
先用dfs樹形dp求出重心，再求出重心與每個點的距離進行累加求和

代碼：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; const int maxn=1e6+3; int ant[maxn],root[maxn]; int n,cnt; ll res; ll point=maxn;vector<int>edge[maxn]; void dfs1(int v,int p) {ant[v]=0;int maxx=0;for(int i=0;i<edge[v].size();i++){int u=edge[v][i];if(u!=p){dfs1(u,v);ant[v]+=(ant[u]+1);maxx=max(ant[u],maxx);}}maxx=max(n-ant[v]-1,maxx);if(maxx<point){cnt=0;root[++cnt]=v;point=maxx;}else if(maxx==point)root[++cnt]=v; } void dfs2(int v,int p,int dep) {res+=dep;for(int i=0;i<edge[v].size();i++){int u=edge[v][i];if(u!=p)dfs2(u,v,dep+1);} } int main() {scanf("%d",&n);int u,v;for(int i=1;i<n;i++){cin>>u>>v;edge[u].push_back(v);edge[v].push_back(u);}dfs1(1,0);dfs2(root[1],0,0);printf("%lld\n",res);return 0; }

有關樹的重心其他性質，有空專門講講

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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