定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算

• 1. 定點(diǎn)數(shù)
• 2. 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算
• 3. 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的溢出判斷
• • 3.1 用一位符號(hào)位判斷溢出
  • 3.2 用兩位符號(hào)位判斷溢出
  • 3.3 最高位和次高位判斷溢出
• 4. 乘法運(yùn)算
• • 4.1 分析筆算乘法
  • 4.2 筆算乘法的改進(jìn)
  • 4.3 圖示
  • 4.4 硬件配置
  • 4.5 表格示意圖
• 5. 除法運(yùn)算
• • 5.1 分析筆算除法
  • 5.2 筆算除法和機(jī)器除法比較
  • 5.3 原碼除法
  • • 5.3.1 恢復(fù)余數(shù)法
    • 5.3.2 不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）

tip:表示方法，可見定點(diǎn)數(shù)(fixed-point number)的表示方法
參考文檔：定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)：https://www.cnblogs.com/kevinq/p/4480563.html
FPGA的算法解析3 定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)：https://zhuanlan.zhihu.com/p/472748886
定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算：https://blog.csdn.net/limanjihe/article/details/52440544
定點(diǎn)運(yùn)算——乘法：https://blog.csdn.net/Blackoutdragon/article/details/104863319
計(jì)算機(jī)組成原理 定點(diǎn)運(yùn)算-移位、加、減、乘、除（詳細(xì)解析-看完就會(huì)）：https://zhuanlan.zhihu.com/p/150650554

1. 定點(diǎn)數(shù)

定點(diǎn)數(shù)中小數(shù)點(diǎn)的位置由兩個(gè)參數(shù)確定，一個(gè)是定點(diǎn)數(shù)的位寬 w，小數(shù)位的位寬 wf 。



下面給出一個(gè)例子，2Q6（Fix9_6）

2Q6 包含一個(gè) 1 個(gè)符號(hào)位，2 個(gè)整數(shù)位，6 個(gè)小數(shù)位。

2. 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算

不論操作數(shù)是正還是負(fù)，在做補(bǔ)碼加減法時(shí)，只需將符號(hào)位和數(shù)值部分一起參與運(yùn)算，并且將符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位丟掉即可。如：

short A=-9, B=-5;
cout<<A+B<<endl;  //-14

推導(dǎo)過程如下（A與B都是定點(diǎn)數(shù)表示的純整數(shù)）：
A的原碼為：1000 0000 0000 1001，因此補(bǔ)碼為：1111 1111 1111 0111
B的原碼為：1000 0000 0000 0101，因此補(bǔ)碼位：1111 1111 1111 1011
A+B的補(bǔ)碼為：1 1111 1111 1111 0010，將符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位丟掉，因此最終結(jié)果為：
1111 1111 1111 0010，結(jié)果的原碼為：1000 0000 0000 1110，即-14。

注：書寫約定整數(shù)的符號(hào)位與數(shù)值位之間用逗號(hào)隔開，小數(shù)的符號(hào)位與數(shù)值位之間用小數(shù)點(diǎn)隔開。

定點(diǎn)數(shù)計(jì)算

• 定點(diǎn)數(shù)相加時(shí)，將兩數(shù)二進(jìn)制的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，直接相加；
• 定點(diǎn)數(shù)相減時(shí)，將減數(shù)化為補(bǔ)碼后相加。
• 定點(diǎn)數(shù)乘法與普通小數(shù)乘法一致，但在相加前進(jìn)行補(bǔ)位，將加數(shù)左側(cè)對(duì)齊。

3. 定點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算的溢出判斷

3.1 用一位符號(hào)位判斷溢出

對(duì)于加法，只有在正數(shù)加正數(shù)和負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)兩種情況下才可能出現(xiàn)溢出，符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)相加是不會(huì)溢出的。
對(duì)于減法，只有在正數(shù)減負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)減正數(shù)兩種情況下才可能出現(xiàn)溢出，符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)相減是不會(huì)溢出的。

由于減法運(yùn)算在機(jī)器中是用加法器實(shí)現(xiàn)的，因此：不論是作加法還是減法，只要實(shí)際操作數(shù)（減法時(shí)即為被減數(shù)和“求補(bǔ)”之后的減數(shù)）的補(bǔ)碼符號(hào)位相同，而結(jié)果的符號(hào)位又與操作數(shù)補(bǔ)碼符號(hào)位不同，即為溢出。（進(jìn)一步解釋：兩個(gè)符號(hào)位相同的補(bǔ)碼相加，如果和的符號(hào)位與加數(shù)的符號(hào)相反，則表明運(yùn)算結(jié)果溢出；兩個(gè)符號(hào)位相反的補(bǔ)碼相減，如果差的符號(hào)位與被減數(shù)的符號(hào)位相反，則表明運(yùn)算結(jié)果溢出。）如：

在4位機(jī)中，A=5，B=-4，則A-B溢出，推導(dǎo)過程如下：
A的原碼為0101，補(bǔ)碼為0101；
-B的原碼為0100，補(bǔ)碼為0100；
A-B的補(bǔ)碼為1001，結(jié)果的符號(hào)位為1，實(shí)際操作數(shù)的符號(hào)位為0，因此溢出。

一位符號(hào)位判斷溢出方法不僅需要判斷加法運(yùn)算的結(jié)果，而且需要保持原操作數(shù)。

3.2 用兩位符號(hào)位判斷溢出

此時(shí)判斷溢出的原則是：當(dāng)2位符號(hào)位不同時(shí)，表示溢出；否則無溢出。不論是否發(fā)生溢出，高位符號(hào)位永遠(yuǎn)代表真正的符號(hào)。

運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位為01表明兩個(gè)正數(shù)相加，結(jié)果大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù)，稱為上溢；運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位為10表明兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，結(jié)果小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù)，稱為下溢。

也就是說，兩個(gè)正數(shù)相加，數(shù)值位不應(yīng)向符號(hào)位同時(shí)產(chǎn)生進(jìn)位，使得結(jié)果數(shù)的符號(hào)位和操作數(shù)的一樣，為00：

00+00+00（進(jìn)位）=00   （mod 4）

兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，數(shù)值位應(yīng)向符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位，使得兩個(gè)負(fù)數(shù)的雙符號(hào)位的運(yùn)算為11；

11+11+01（進(jìn)位）=11   （mod 4）

當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的兩個(gè)符號(hào)位不相同時(shí)，表明出現(xiàn)了溢出。判斷溢出的邏輯表達(dá)式：　　
　　其中Z′為增加的符號(hào)位。

　　例：設(shè)x=+1100，y=+1000，求6位雙符號(hào)位補(bǔ)碼之和[x+y]補(bǔ)。解：[x]補(bǔ)=001100, [y]補(bǔ)=001000[x+y]補(bǔ)=001100+001000=010100[x+y]補(bǔ)=010100，其中兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)01，表示已溢出。

　　例：設(shè)x=-1100,y=-1000，求6位雙符號(hào)位補(bǔ)碼之和[x+y]補(bǔ)。解：[x]補(bǔ)=110100， [y]補(bǔ)=111000[x+y]補(bǔ)=110100+111000=101100[x+y]補(bǔ)=101100，其中兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)10，表示已溢出。

　　例：設(shè)x=-0.1011，y=-0.0111，則x+y溢出，推導(dǎo)過程如下：解：x的原碼為11.1011，補(bǔ)碼為11.0101；y的原碼為11.0111，補(bǔ)碼為11.1001，因此x+y的補(bǔ)碼為1 10.1110，將符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位丟掉，則結(jié)果為10.1110，因此溢出。

　　例：設(shè)x=0.1011，y=0.0111，則x+y溢出，推導(dǎo)過程如下：解：x的原碼為00.1011，補(bǔ)碼為00.0101；y的原碼為00.0111，補(bǔ)碼為00.1001，因此x+y的補(bǔ)碼為01.0000，則結(jié)果為01.0000，因此溢出。

采用雙符號(hào)位補(bǔ)碼后，任何小于1的正數(shù)，兩個(gè)符號(hào)位都是0；任何大于-1的負(fù)數(shù)，兩個(gè)符號(hào)位都是1。如果兩個(gè)數(shù)相加后，其結(jié)果的符號(hào)位出現(xiàn)01或10時(shí)，表示發(fā)生溢出。因?yàn)閮蓚€(gè)絕對(duì)值小于1的數(shù)相加，其結(jié)果不會(huì)大于或等于2，所以最高位總是表示正確的符號(hào)。這也可以表示為：當(dāng)最高數(shù)據(jù)位有進(jìn)位而符號(hào)位無進(jìn)位時(shí)產(chǎn)生上溢出（01）；當(dāng)最高數(shù)據(jù)位無進(jìn)位而符號(hào)位有進(jìn)位時(shí)，表示下溢出（10）。

在雙符號(hào)位補(bǔ)碼中，正常的數(shù)據(jù)中兩個(gè)符號(hào)位總是相同的，所以在存儲(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)不必重復(fù)存儲(chǔ)，只是在將數(shù)據(jù)送往運(yùn)算部件進(jìn)行運(yùn)算時(shí)才把符號(hào)位進(jìn)行復(fù)制形成雙符號(hào)位補(bǔ)碼。

3.3 最高位和次高位判斷溢出

利用數(shù)據(jù)編碼的**最高位（符號(hào)位）和次高位（數(shù)值部分的最高位）**的進(jìn)位狀況來判斷運(yùn)算結(jié)果是否發(fā)生了溢出。

兩個(gè)補(bǔ)碼數(shù)實(shí)現(xiàn)加減運(yùn)算時(shí)，若最高數(shù)值位向符號(hào)位的進(jìn)位值與符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位輸出值不相同，則表明加減運(yùn)算產(chǎn)生了溢出。因?yàn)楫?dāng)x和y均為n+1位正整數(shù)時(shí)，其和有兩種情況：當(dāng)x+y<2n時(shí)，不會(huì)發(fā)生溢出；當(dāng)x+y≥2n時(shí)符號(hào)位沒有進(jìn)位，表明發(fā)生溢出。當(dāng)x和y都是n+1位負(fù)數(shù)時(shí)，其和也有兩種情況：當(dāng)x+y≥-2n時(shí)，不會(huì)發(fā)生溢出；當(dāng)x+y<-2n時(shí)，符號(hào)位相加后變成0并且有進(jìn)位，而數(shù)值部分的最高位相加時(shí)無進(jìn)位，結(jié)果變?yōu)檎龜?shù)，表明發(fā)生了溢出。減法的情況與此類似，這種判斷方法的邏輯表達(dá)式如下：

　　例：設(shè)x=+1011， y=+1001，求[x+y]補(bǔ)。解：[x]補(bǔ)=01011， [y]補(bǔ)=01001[x+y]補(bǔ)=01011+01001=10100兩個(gè)正數(shù)相加，最高兩位的進(jìn)位為01，表示發(fā)生了溢出，其結(jié)果為負(fù)數(shù)，顯然是錯(cuò)誤的。

　　例：設(shè)x=-1101，y=-1011，求[x+y]補(bǔ)。解：[x]補(bǔ)=10011， [y]補(bǔ)=10101[x+y]補(bǔ)=10011+10101=01000兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，最高兩位的進(jìn)位為10，表示發(fā)生了溢出，其結(jié)果為正數(shù)，顯然是錯(cuò)誤的。

4. 乘法運(yùn)算

4.1 分析筆算乘法

設(shè)A=0.1101，B=0.1011，求A×B。

1. 對(duì)于定點(diǎn)數(shù)的乘法，分為兩部分

• 將乘數(shù)和被乘數(shù)的符號(hào)位提出，單獨(dú)進(jìn)行異或運(yùn)算
• 將將乘數(shù)和被乘數(shù)的數(shù)值部分取絕對(duì)值們，進(jìn)行移位加法運(yùn)算

2. 通過下述對(duì)筆算的分析，得到對(duì)于二進(jìn)制的乘法數(shù)值部分而言，只有兩種運(yùn)算過程

• 乘數(shù)對(duì)應(yīng)的位數(shù)為0，不加被乘數(shù)
• 乘數(shù)對(duì)應(yīng)的位數(shù)為1，那就進(jìn)行相應(yīng)的移位之后，加上對(duì)應(yīng)的被乘數(shù)

3. 得到最終對(duì)應(yīng)的結(jié)果
   
   所以 A×B=+0.10001111
   　　可見，這里包含著被乘數(shù)4的多次左移，以及四個(gè)位積的相加運(yùn)算。
   若計(jì)算機(jī)完全模仿筆算乘法步驟，將會(huì)有兩大困難：其一，將四個(gè)位積一次相加，機(jī)器難以實(shí)現(xiàn)；其二，乘積位數(shù)增長(zhǎng)了一倍，這將造成器材的浪費(fèi)和運(yùn)算時(shí)間的增加。為此，對(duì)筆算乘法做些改進(jìn)。

4.2 筆算乘法的改進(jìn)

將A?B= A?0.1011
　　　　 =0.1A+0.001?A+0.0001?A
　　　　 =0.1A+0.00?A+0.001(A+0.1A）
　　　　 =0.1A+0.01[0?A+0.1(A+0.1A)]
　　　　 =0.1{A+0.1[0?A+0.1(A+0.1A)]}
　　　　 =2^-1{A+2^-1 [0?A+2^-1 (A+2^-1A)]}
　　　　 =2^-1{A+2^-1 [0?A+2^-1 (A+2-^-1(A+0))]}

由上式可見，兩數(shù)相乘的過程，可視作加法和移位(乘2^-1相當(dāng)于做一位右移)兩種運(yùn)算，這對(duì)計(jì)算機(jī)來說是非常容易實(shí)現(xiàn)的。
　　從初始值為0開始，對(duì)上式作分步運(yùn)算，則
　　第一步：被乘數(shù)加零　　　　　　A+0=0.1101+0.0000=0.1101
　　第二步：右移一位，得新的部分積　　　2^-1 (A+0)＝0.01101
　　第三步：被乘數(shù)加部分積　A+2^-1(A+0)=0.1101+0.01101=1.00111
　　第四步：右移一位，得新的部分積　2^-1 A+2^-1 (A+0)=0.100111
　　第五步：　　　　　　　　0?A +2^-1 [A+2^-1(A+0)] =0.100111
　　第六步：　　　　　　2^-1{0?A+2^-1 [A+2^-1 (A+0)]}=0.0100111
　　第七步：　　　　　　A+2^-1{0?A+2^-1 [A+2^-1 (A+0)]}=1.0001111
　　第八步：　　2^-1 {A+2^-1 [0?A+2^-1 (A+2^-1 (A+0))]}=0.10001111

上述運(yùn)算過程可歸納為：
　　①乘法運(yùn)算可用移位和加法來實(shí)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)四位數(shù)相乘，總共需做四次加法和四次移位。
　　②由乘數(shù)的末位值確定被乘數(shù)是否與原部分積相加，然后右移一位，形成新的部分積；同時(shí)，乘數(shù)也右移一位，由次低位作新的末位，空出最高位放部分積的最低位。
　　③每次做加法時(shí)，被乘數(shù)僅僅與原部分積的高位相加，其低位被移至乘數(shù)所空出的高位位置。

計(jì)算機(jī)很容易實(shí)現(xiàn)這種運(yùn)算規(guī)則。用一個(gè)寄存器存放被乘數(shù)，一個(gè)寄存器存放乘積的高位，又用一個(gè)寄存器存放乘數(shù)及乘積的低位，再配上加法器及其他相應(yīng)電路，就可組成乘法器。又因加法只在部分積的高位進(jìn)行，故不但節(jié)省了器材，而且還縮短了運(yùn)算時(shí)間。

4.3 圖示

原文圖示見：https://blog.csdn.net/Blackoutdragon/article/details/104863319

最低位是1，將被乘數(shù)加到部分積中。

將乘數(shù)中已經(jīng)判定過的1，移除，丟棄已經(jīng)沒用。乘數(shù)整體右移，這樣乘數(shù)最左邊就多出來一個(gè)數(shù)位。除此之外，將部分積整體右移，左邊拿0補(bǔ)，右邊移出的數(shù)不能丟保存到乘數(shù)寄存器的第一位。

以乘數(shù)新的最后一位進(jìn)行判定，然后與部分積進(jìn)行相加

再次進(jìn)行移位操作，將乘數(shù)的最后一位右移刪除，空出的最高位由部分積的移出的最低位補(bǔ)充


乘數(shù)的最后一位是0，不用再加上被乘數(shù)，所以結(jié)果直接為部分寄存器中的值


注意：這里雖然加上的是0，但是在實(shí)際操作中，是沒有這一步的，但是控制移位是必修要進(jìn)行的

將乘數(shù)最后一位進(jìn)行判定，加上被乘數(shù)


進(jìn)行移位運(yùn)算，最終結(jié)果是部分積寄存器中的高位和乘數(shù)寄存器中的低位組合，就是最終的結(jié)果

4.4 硬件配置

A為移位寄存器，用來保存部分積
Q為移位寄存器，用來保存乘數(shù)和部分積的低位部分
X為通用寄存器，用來保存被加數(shù)
C為計(jì)數(shù)器，用來控制整個(gè)乘法的運(yùn)行步驟和循環(huán)次數(shù)

4.5 表格示意圖

例題：已知x=-0.1110 y=0.1101 求[x·y]原


則[x·y]原=1.10110110

特點(diǎn)：
絕對(duì)值運(yùn)算
用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束

5. 除法運(yùn)算

5.1 分析筆算除法

X=-0.1011 y=0.1101 求x/y

x/y=-0.1101
余數(shù) 0.00000111

1. 上商后補(bǔ)0，和右移1位的除數(shù)0.01101做比較，比現(xiàn)在加0后的被除數(shù)小，上1，減掉右移1位的除數(shù)；
2. 添0，和右移2位的除數(shù)做比較，小數(shù)后有2個(gè)0，顯然比現(xiàn)在的余數(shù)小，上商1，減掉右移2位的除數(shù)，得到新余數(shù)；
3. 添0，把新余數(shù)和右移3位的除數(shù)0.0001101做比較，比現(xiàn)在的余數(shù)大，上商0，繼續(xù)給新的余數(shù)添0，和右移4位的除數(shù)0.00001101做比較，比新余數(shù)小，上商1，減法得到余數(shù)

當(dāng)商的位數(shù)和除數(shù)的位數(shù)一樣時(shí)停止

5.2 筆算除法和機(jī)器除法比較

5.3 原碼除法

以小數(shù)為例

特點(diǎn)
商的符號(hào)位單獨(dú)處理x與y異或運(yùn)算
數(shù)值部分為絕對(duì)值相除x^* / y^*
小數(shù)定點(diǎn)除法x^* < y^* 整數(shù)定點(diǎn)除法x^* > y^*
被除數(shù)不等于0，除數(shù)不能為0

5.3.1 恢復(fù)余數(shù)法

恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則

例題：
x=-0.1011 y=-0.1101 求[x/y]原
解：[x]原=1.1011
[y]原=1.1101
[y^* ] 補(bǔ)=0.1101
[-y ^* ]補(bǔ)=1.0011

做減法目的：試探上商為1還是0

所有x^* / y^*=0.1101
[x/ y]原=0.1101

一共進(jìn)行了5次上商，4次移位，第一次上商判斷是否發(fā)生溢出：
若在小數(shù)定點(diǎn)機(jī)中，第一次上商上1，說明發(fā)生溢出，商的值大于1，所有只能表示絕對(duì)值小于1的數(shù)

特點(diǎn)：
余數(shù)為正：上商1
余數(shù)為負(fù)，上商0，恢復(fù)余數(shù)

5.3.2 不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）

不恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則（加減交替）

例題：
x=-0.1011 y=-0.1101 ，求[x/y]原
解：[x]原=1.1011 [y]原=1.1101 [y*]補(bǔ)=0.1101 [-y*]補(bǔ)=1.0011

符號(hào)位x=1與y=1異或得到為0
x^* / y^*=0.1101
[x/y]原=0.1101

特點(diǎn)：
上商n+1次
第一次上商判斷是否溢出（判斷被除數(shù)和除數(shù)直接的大小關(guān)系）
在小數(shù)定點(diǎn)機(jī)中，被除數(shù)的絕對(duì)值大于除數(shù)的絕對(duì)值，第一次上商為1就發(fā)生了溢出，移位n次，直到第一次上商處于最后一位的商的值移到符號(hào)位的位置；做了n+1次加法
用移位的次數(shù)判斷除法是否結(jié)束

總結(jié)

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