丘成桐演講全文

來(lái)源：雷鋒網(wǎng)

今天很榮幸地收到你們的邀請(qǐng)來(lái)做一個(gè)演講。我本人在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)不在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)，最近這十多年來(lái)，由于我的學(xué)生顧險(xiǎn)峰以及其他朋友的緣故，他們叫我?guī)兔ψ鲂└?jì)算機(jī)有關(guān)的學(xué)問(wèn)。我發(fā)覺(jué)，純數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)在計(jì)算機(jī)方面有很大的應(yīng)用。所以我今天就濫竽充數(shù)，講講幾何跟計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。?

一、現(xiàn)代幾何的歷史

首先，前面幾分鐘講講幾何學(xué)歷史。幾何學(xué)一開(kāi)始，就類似今天的人工智能，有很多工程上的應(yīng)用以及產(chǎn)生的很多定理。不過(guò)隨后歐幾里得將當(dāng)時(shí)主要的平面定理組合以后發(fā)現(xiàn)這些定理都可以由5個(gè)公理推出來(lái)。這是人類歷史上很重要的一個(gè)里程碑，在很繁復(fù)的現(xiàn)象里，他找到了很簡(jiǎn)單但卻很基本的五個(gè)公理，從而能將原來(lái)的這些公理全部推出來(lái)。我是很鼓勵(lì)我們做人工智能的也能重復(fù)這個(gè)做法——從現(xiàn)在復(fù)雜多樣的網(wǎng)絡(luò)中找到它最簡(jiǎn)單的公理。

由于希臘人的工具不夠，所以除了二次方程定義的圖形（圓形、直線、橢圓等）以外，他們沒(méi)有能力處理更一般的圖形。一直到阿基米德，才開(kāi)始做微積分的無(wú)限算法（積分體積），同時(shí)他們也開(kāi)始做射影幾何的算法。

微積分的出現(xiàn)使幾何學(xué)進(jìn)入了新紀(jì)元，微分幾何也因此誕生。幾何學(xué)在歐拉和高斯手上突飛猛進(jìn)，變分方法和組合方法被大量地引入到幾何學(xué)當(dāng)中。

現(xiàn)代幾何（近兩百年的幾何）主要發(fā)源于黎曼在1854年的博士論文，這篇論文奠定了整個(gè)現(xiàn)代幾何的基礎(chǔ)，他把幾何圖像看成一個(gè)抽象但是能夠自足的空間。這個(gè)空間后來(lái)成為了現(xiàn)代物理的基礎(chǔ)，現(xiàn)在物理中研究引力波等都是從黎曼這里開(kāi)始的，沒(méi)有黎曼這個(gè)空間，愛(ài)因斯坦不可能研究出來(lái)廣義相對(duì)論。同時(shí)假如我們細(xì)看黎曼的這篇論文的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，黎曼還認(rèn)為離散空間也是一個(gè)很重要的空間。這個(gè)離散的空間包括了我們現(xiàn)在研究的圖論，也用來(lái)研究宇宙萬(wàn)物可能產(chǎn)生的一切。所以即使是150年以后的今天，我們依然能看到黎曼的這個(gè)觀點(diǎn)很重要。

二、對(duì)稱的概念

幾何學(xué)能夠提供很多重要的想法，可以講其影響是無(wú)所不在的。幾何學(xué)的很多概念在高能物理和一般的物理學(xué)領(lǐng)域都產(chǎn)生重要的影響。其中一個(gè)重要的概念叫做“對(duì)稱”。“對(duì)稱”的概念是在1820年到1890年間由幾個(gè)重要的數(shù)學(xué)家發(fā)展出來(lái)的。我們中國(guó)喜歡講的陰陽(yáng)，其實(shí)就是一個(gè)屬于對(duì)稱。在數(shù)學(xué)上有一個(gè)叫龐加萊對(duì)偶的概念，其實(shí)就是陰陽(yáng)，但這個(gè)概念要比陰陽(yáng)具體得多，同時(shí)也真正用在了數(shù)學(xué)的發(fā)展上。

19世紀(jì)，Sophis Lee發(fā)展的李群，也是物理學(xué)界最重要的工具之一，在現(xiàn)代物理中幾乎沒(méi)有一個(gè)學(xué)科可以離開(kāi)李群的。

在幾何學(xué)上，1870年的時(shí)候，偉大的數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，在這個(gè)綱領(lǐng)里克萊因提出用對(duì)稱來(lái)統(tǒng)治幾何的重要原理，隨后產(chǎn)生了很多重要的幾何學(xué)，包括仿射幾何、保角幾何和投影幾何等。

這些幾何對(duì)于圖像處理都有密切的關(guān)系。我以及我的學(xué)生和朋友這十多年來(lái)就是用保角幾何及種種幾何來(lái)處理不同的圖像。即使是當(dāng)年看上去不重要的幾何，現(xiàn)在實(shí)際上都有它重要的用處。這種種的計(jì)算都是從對(duì)稱這個(gè)概念發(fā)展出來(lái)的。從大范圍對(duì)稱到小范圍對(duì)稱，這些在20世紀(jì)的基礎(chǔ)研究中都有很成功的影響。

三、平行移動(dòng)

另外一個(gè)很重要的概念，我想是很多做工程的人都沒(méi)有注意到的，就是平行移動(dòng)的概念。這個(gè)概念影響了整個(gè)數(shù)學(xué)界兩千年。平行移動(dòng)的概念其實(shí)就是一點(diǎn)和另外一點(diǎn)要有一個(gè)很好的比較的方法；計(jì)算機(jī)也好，圖形學(xué)也好，在某一點(diǎn)上看到的事情要和其他點(diǎn)進(jìn)行比較，比較的方法就叫平行移動(dòng)。這也是一個(gè)很廣泛、很重要的概念。現(xiàn)在在計(jì)算數(shù)學(xué)里面還沒(méi)有大量的引進(jìn)，但是在物理學(xué)界已經(jīng)被大量地使用上了。所以我期望這些基本的概念以后能在計(jì)算機(jī)里面大量地使用。

四、幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)相互之間的影響

現(xiàn)在我們具體來(lái)講一些的事情。現(xiàn)代幾何為計(jì)算數(shù)學(xué)奠定了很多理論的基礎(chǔ)，并且指導(dǎo)了計(jì)算機(jī)科學(xué)未來(lái)發(fā)展的方向。現(xiàn)代幾何廣泛應(yīng)用到計(jì)算機(jī)的所有分支。舉例來(lái)講，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等等都有廣泛的應(yīng)用。再例如，黎曼幾何可以用來(lái)理解社交網(wǎng)絡(luò)；現(xiàn)代幾何理論也可以用來(lái)理解人工智能的特性。要記住，我們講的幾何并不是高中時(shí)代的幾何，所有與圖像或者網(wǎng)絡(luò)有關(guān)的都是幾何的一部分。

從另一方面來(lái)看，計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展為現(xiàn)代幾何提供了需求和挑戰(zhàn)，也推動(dòng)了跨學(xué)科的發(fā)展方向。例如：

• 人工智能中的機(jī)械定理證明推動(dòng)了計(jì)算代數(shù)的發(fā)展；

• 數(shù)據(jù)安全、比特幣、區(qū)塊鏈的發(fā)展推動(dòng)了代數(shù)數(shù)論、橢圓曲線和模形式的發(fā)展；

• 社交網(wǎng)絡(luò)、大數(shù)據(jù)的發(fā)展催生了持續(xù)同調(diào)理論（persistent homology）的發(fā)展；

• 動(dòng)漫、游戲的發(fā)展推動(dòng)了計(jì)算共性幾何學(xué)科的誕生和發(fā)展；

• 機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展推動(dòng)了最優(yōu)傳輸理論的發(fā)展等等。

五、計(jì)算機(jī)&幾何學(xué)研究案例

我們下面舉幾個(gè)具體的例子，分別是圖論、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、人工智能、深度學(xué)習(xí)等。這幾個(gè)和幾何都有密切的聯(lián)系。

1、圖論

我們先講講圖論。圖，就是一大堆頂點(diǎn)、一大堆邊把它們連起來(lái)，這是最簡(jiǎn)單不過(guò)的事情。對(duì)于一個(gè)圖，譬如交通圖，我們要找出它們有著怎么樣一個(gè)結(jié)構(gòu)，什么地方比較擁擠。有時(shí)候我們也要研究怎么將這個(gè)圖切成小部分，然后分解成簡(jiǎn)單的子圖；如何衡量各個(gè)連通分支間的連接度；如何將圖染色等。這些問(wèn)題實(shí)際上都跟圖上的特征函數(shù)有密切的關(guān)系。

圖上的特征函數(shù)跟光滑圖形上的特征函數(shù)有很類似的地方。我在40年前跟幾個(gè)朋友，鄭紹遠(yuǎn)、李偉光，做了一個(gè)工作，將光滑黎曼流形的特征函數(shù)推廣到圖上，得到了很好的結(jié)果。這些結(jié)果可以用來(lái)決定圖上的連結(jié)的生成，研究圖上的邊創(chuàng)造過(guò)程，尤其是有個(gè)量的估值來(lái)控制在圖上發(fā)散的過(guò)程。約束發(fā)散的過(guò)程可以應(yīng)用到許多實(shí)際的過(guò)程中。我們還研究了圖上的薛定諤方程，定義了圖上的量子隧道概念。這些概念都是從物理上來(lái)的，被借用到圖上。

假如我們?cè)诳紤]有向圖，就是每個(gè)點(diǎn)、每個(gè)邊，給它一個(gè)方向，我們就可以將拓?fù)鋵W(xué)整個(gè)引用到圖上去，定義了圖上的同調(diào)群。同調(diào)群可以用來(lái)研究圖上密切的關(guān)系和它的內(nèi)容。

現(xiàn)在我們來(lái)講講我們做的關(guān)于博弈理論的一個(gè)事情。進(jìn)化圖論為表達(dá)種群結(jié)構(gòu)提供了數(shù)學(xué)工具：頂點(diǎn)代表個(gè)體，邊代表個(gè)體的交互作用。圖可以用來(lái)代表各種具有空間結(jié)構(gòu)的群，例如細(xì)菌、動(dòng)植物、組織結(jié)構(gòu)、多細(xì)胞器官和社交網(wǎng)絡(luò)。在進(jìn)化過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體依據(jù)自身的適應(yīng)程度，進(jìn)行繁殖病侵占到鄰近頂點(diǎn)。圖的拓?fù)浞从沉嘶虻难莼儺惡瓦x擇的平衡。類似的，互聯(lián)網(wǎng)是一個(gè)大網(wǎng)，一個(gè)非常復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，我可以在上面研究它的變化。社交行為的進(jìn)化可以用進(jìn)化博弈論來(lái)研究。個(gè)體和鄰居博弈，根據(jù)收益而繁殖。個(gè)體繁殖速率受到自身與其他個(gè)體的交互作用影響，從而產(chǎn)生博弈的動(dòng)態(tài)演化。其中心的問(wèn)題就在于對(duì)于給定的圖如何決定哪種策略會(huì)取得成功。

我們?cè)诮衲昴瓿醯臅r(shí)候在nature上發(fā)了篇文章，我們得到一個(gè)結(jié)果，就是在任何給定的圖上進(jìn)行弱選擇，自然選擇從兩種彼此競(jìng)爭(zhēng)的策略中如何進(jìn)行挑選，這個(gè)理論框架適用于人類決策，也適用于任何集群組織的生態(tài)演化。

我們從弱選擇極限得到的結(jié)果，解釋了何種組織結(jié)構(gòu)導(dǎo)致何種行為。我們發(fā)現(xiàn)，如果存在成對(duì)的強(qiáng)紐帶結(jié)構(gòu)，合作就會(huì)大規(guī)模出現(xiàn)。我們用數(shù)學(xué)證明了社會(huì)學(xué)方面的一個(gè)結(jié)論：穩(wěn)定的伙伴或者伴侶，對(duì)于形成合作型的社會(huì)起到了骨干作用。

?2、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：全局參數(shù)化 – 共形幾何

下面我要講的是“計(jì)算機(jī)圖形學(xué)：全局參數(shù)化 – 共形幾何”。這是我們發(fā)展了二十多年的一個(gè)學(xué)問(wèn)。我和顧險(xiǎn)峰從他還在哈佛念博士的時(shí)候（1999年）我們就開(kāi)始做這個(gè)事情。

當(dāng)我們將圖形整體光滑映射到參數(shù)區(qū)域，使幾何變得很小，會(huì)破壞掉整個(gè)圖形；一般來(lái)講這個(gè)要用手工來(lái)做，否則的話它變化非常大。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們使用了紋理貼圖、法向量貼圖等等的方法。共性幾何是一個(gè)很重要的從很古典的黎曼幾何中產(chǎn)生的幾何。

舉例來(lái)講，這個(gè)大衛(wèi)的雕像，我們將它保角地映射到平面上去。它表面上看好像變化很大，但實(shí)際上變化不大，因?yàn)樗潜＝遣蛔兊摹＿@在圖像處理中是一個(gè)很重要的事情。舉個(gè)例子來(lái)講，從圖上要畫格點(diǎn)，因?yàn)槲覀儺嫷狡矫嫔先ヒ院?#xff0c;我們就可以將平面上畫的很好的格點(diǎn)映射到臉上，就可以變成很漂亮的四方形的格點(diǎn)。這對(duì)工程處理有很多好處，其好處就是它將圖上很小的圓映射到對(duì)方圖上還是一個(gè)很小的圓，不會(huì)有扭曲，不會(huì)有太大的變化。

前面這些應(yīng)用到一個(gè)數(shù)學(xué)上很重的定理，叫做龐加萊單值化定理，這是一個(gè)從黎曼時(shí)候開(kāi)始的定理。就是講映射的圖形只跟它的拓?fù)湫杂嘘P(guān)，這上面有三種幾何，分別為：球面幾何、歐氏幾何、雙曲幾何。所有二維的幾何，不管是什么樣子的，我們都可以用這三種幾何來(lái)分類。因此我們就可以將很復(fù)雜的事情很簡(jiǎn)單地描述出來(lái)。

上面這些我們得出了很好的結(jié)果。但是保角也有它的缺點(diǎn)，所以我們也發(fā)展了第二類映射，我們使得面元被保持，而角度不一定被保持。保角映射有時(shí)候可能將一個(gè)面拉的很遠(yuǎn)，左手邊是保角映射，右手邊是保面元映射。右面的圖在不同的情形下會(huì)得出很好的結(jié)果。

3、計(jì)算機(jī)視覺(jué)，表情追蹤 – 擬共映射

共性映射也可以應(yīng)用到表情識(shí)別和追蹤當(dāng)中。我們可以自動(dòng)地找到球面上曲面間的光滑映射，使得特征點(diǎn)匹配，使映射帶來(lái)的變化很小。這是我們得到的一個(gè)很重要的結(jié)果。?

因此，我們可以用來(lái)追蹤表情，表情捕捉。一個(gè)人他在笑、在哭、在種種不同的表現(xiàn)的時(shí)候，我們能夠得到他的重要的面部特征，主要的方法就是我們將它映射到平面上，然后用共形映射或擬共形映射來(lái)研究它。這些都是很重要的數(shù)學(xué)工具，在計(jì)算上也有很重要的應(yīng)用。

擬共形映射到目前來(lái)講，純數(shù)學(xué)家把它看得還是非常重要的，它不是一個(gè)正則方程，而是一個(gè)偽正則方程，也即Beltrami方程。這個(gè)方程在我們研究圖像變形時(shí)在數(shù)學(xué)上是非常重要的，所以我們應(yīng)用到圖形處理里面去也得到很重要的結(jié)果。我們可在微分同胚的空間進(jìn)行變化到最優(yōu)的映射。它對(duì)醫(yī)療和動(dòng)漫都有很重要的應(yīng)用。

4、計(jì)算力學(xué) – 六面體網(wǎng)格生成，葉狀結(jié)構(gòu)理論

我們也可以用同樣的變化（保角映射）來(lái)產(chǎn)生六面體網(wǎng)格的生成和葉狀結(jié)構(gòu)理論。

這是在一只兔子上找到的好的網(wǎng)格。但是這個(gè)網(wǎng)格會(huì)產(chǎn)生一些奇異點(diǎn)（拓?fù)鋵W(xué)的緣故）。針對(duì)這些奇異點(diǎn)，我們就做了一些研究，得出了很好的結(jié)論。

再比如，我們看這個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上我們畫出一些葉狀的結(jié)構(gòu)，可是它也有一定的奇異點(diǎn)。我們將這些奇異點(diǎn)分類，得出了一些在計(jì)算機(jī)科學(xué)上有意義的結(jié)論。

此外，全純二次微分的網(wǎng)絡(luò)中間有個(gè)六邊形的變化。

5、數(shù)字幾何處理-幾何壓縮：蒙日-安培理論，幾何逼近理論

下面我們來(lái)看計(jì)算機(jī)的幾何壓縮中的蒙日-安培理論以及幾何逼近理論。如何壓縮復(fù)雜幾何數(shù)據(jù)，同時(shí)保證幾誤差最小，保證黎曼度量、曲率測(cè)度、微分算子的收斂性，這些都是很重要的問(wèn)題。我們用了很多共形映射的方法將曲面映射到平面去；再用蒙日-安培方程，將高曲率區(qū)域放大；隨后重采樣，在共性參數(shù)域上計(jì)算Delaunay三角剖分。這樣得到的簡(jiǎn)化多面體網(wǎng)格就能夠保證黎曼度量、曲率測(cè)度、微分算子收斂。

6、區(qū)塊鏈：數(shù)字安全，橢圓曲線理論

這方面很多人都知道，這部分我就跳過(guò)去不再講了。

7、人工智能

目前機(jī)器學(xué)習(xí)算法需要大量的樣本。雖然現(xiàn)在比從前進(jìn)步得多了，但規(guī)模還是很龐大。所以我們的想法是，讓理論來(lái)幫忙處理這種復(fù)雜的數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中有很多統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，但是很多內(nèi)容我們都不是很了解它是如何產(chǎn)生的。所以我們需要用一些比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的理論來(lái)從這些復(fù)雜的現(xiàn)象中抽取出它們的本質(zhì)。我們今天介紹一下用幾何的方法來(lái)研究對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)（GAN）的事情。

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)GAN（Generative Adversarial Networks）其實(shí)就是以己之矛克己之盾，在矛盾中發(fā)展，使得矛更加鋒利，盾更加強(qiáng)韌。這里的盾就被稱為判別器（Descriminator），矛被稱為生成器（Generator）。生成器G一般是將一個(gè)隨機(jī)變量（例如高斯分布或者均勻分布），通過(guò)參數(shù)化的概率生成模型（通常是用一個(gè)深度神經(jīng)網(wǎng)進(jìn)行參數(shù)化），進(jìn)行概率分布的逆變換采樣，從而得到一個(gè)生成的概率分布。判別器D也通常采用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

舉個(gè)例子來(lái)講，有個(gè)概率分布u，u是基本的白噪音，影射到右手邊的圖片，一個(gè)概率分布v。我們從映射里看到GAN的問(wèn)題其實(shí)就是：在兩個(gè)概率分布u和v之間，找到一個(gè)最優(yōu)的傳輸映射，從一個(gè)空間到另外一個(gè)空間，使它的概率分布是保持的。

u通過(guò)phi映射到v上去，同時(shí)我們要將它傳輸?shù)拇鷥r(jià)變得最小。這樣的變化是我們所需要的，因?yàn)檫@就不再需要像剛才所說(shuō)的矛盾變化來(lái)達(dá)到最好的結(jié)果。我們知道，映射可以用一個(gè)方程來(lái)解決，所以我們其實(shí)就是要找一個(gè)凸函數(shù)U，它的梯度是我們的映射函數(shù)phi，它滿足一個(gè)方程：蒙日-安培方程。

我們可以通過(guò)對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行求解的方式來(lái)找到最優(yōu)傳輸映射，所以就節(jié)省很多生成對(duì)抗的時(shí)間。蒙日-安培方程本身其實(shí)是等價(jià)于微分幾何中的亞歷山大定理的。60年代就有人處理過(guò)這個(gè)方程，我自己也做過(guò)這個(gè)方程，前幾年顧險(xiǎn)峰跟他的學(xué)生也和我一起對(duì)它做了一個(gè)計(jì)算。

對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)實(shí)質(zhì)上就是用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)計(jì)算概率測(cè)度之間的變換。雖然規(guī)模宏大，但是數(shù)學(xué)本質(zhì)并不復(fù)雜。應(yīng)用相對(duì)成熟的最優(yōu)傳輸理論和蒙日-安培理論，我們可以為機(jī)器學(xué)習(xí)的黑箱給出透明的幾何解釋，這有助于設(shè)計(jì)出更為高效和可靠的計(jì)算方法。

六、總結(jié)

我們看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展緊密相關(guān)，共形幾何的單值化定理、蒙日-安培理論、最優(yōu)傳輸理論等現(xiàn)代幾何中的定理應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)中的很多領(lǐng)域。我希望我們能夠?qū)⒏嗄切┍砻嫔峡磥?lái)很高深的數(shù)學(xué)應(yīng)用到我們?nèi)粘５挠?jì)算機(jī)上去，不但是能夠有效地提出計(jì)算機(jī)的算法，同時(shí)也能夠給它一個(gè)理論的基礎(chǔ)。人工智能需要一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，否則它的發(fā)展會(huì)有很大困難。

等的就是你，真的超有趣！高能金融抱團(tuán)群發(fā)車?yán)瞺

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的丘成桐在CNCC会议的演讲全文的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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