文章目錄

• 基本概念
• • 點與向量的運算
  • • 精度問題
  • 線段，射線和直線
  • 點積：
  • 夾角
  • 叉積
  • 向量的極角
  • 旋轉(zhuǎn)一個向量
  • 求三角形面積
  • 直線交點
  • 點到直線距離
  • 點在直線上的投影
  • 判斷兩條線段是否相交
  • 點與直線的位置關(guān)系
  • • 點是否在直線左側(cè)
    • 點是否在直線上
    • 點是否在線段上
  • 點與多邊形的位置關(guān)系
  • • 掃描法：
    • 轉(zhuǎn)角法
  • 線段與多邊形位置關(guān)系
  • 多邊形的面積

基本概念

點：平面上一點，用坐標(x,y)來表示

struct Point{double x,y; };

向量：同時具有大小和方向的量 。把向量從原點出發(fā)到達的點的坐標作為該向量的坐標

typedef Point Vector;

點與向量的運算

點 + 向量 = 點
向量 + 向量 = 向量
點 - 點 = 向量
向量 * k = 向量

Vector operator +(Vector a,Vector b) {return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y); } Vector operator -(Vector a,Vector b) {return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y); } Vector operator *(Vector a,double p) {return Vector(a.x*p , a.y*p); } Vector operator /(Vector a,double p) {return Vector(a.x/p , a.y/p); } struct point{double x,y;point(){}point(double x1,double y1):x(x1),y(y1){}point operator +(const point &z)const{return point(x+z.x,y+z.y);}point operator -(const point &z)const{return point(x-z.x,y-z.y);}point operator 8 (const double &rate)const{return point(x*rate,y*rate);} }p[N];

精度問題

因為浮點數(shù)的精度問題會造成微小的偏差

const double eps=1e-10; int dcmp(double x) {if(fabs(x)<eps)return 0;else return x>0?1;-1; } bool operator == (Point a,Point b) {return !dcmp(a.x-b.x)&&!dcmp(a.y-b.y); }

線段，射線和直線

表示方式：

解析幾何（y = kx+b）

點+向量

具體區(qū)分線段射線和直線

struct Line{Point p;Vector v;int f; }; f=0 說明是線段 f=1 說明是射線 f=2 說明是直線 struct Line{point p,v;Line(){}Line(point _p.point _v):p(_p),v(_v){} }L[N];

點積：

點積表示的是兩個向量的長度之積再乘上他們夾角的余弦值，也就是a在b上的投影長度乘上b的模長

double dot(Vector a,Vector b) {return a.x*b.x+a.y*b.y; }

夾角

利用點積的定義：

double angle(Vector a,Vector b) {return acos(dot(a,b)/length(a)/length(b)); }

叉積

叉積表示的是兩個向量的長度之積再乘上它們的夾角的正弦值
也就是以這兩個向量為相鄰兩邊所成平行四邊形的面積
（叉積還可以表示方向）

double cross(Vector a,Vector b) {return a.x*b.y-a.y* b.x; }

v2在v1的順時針方向那么sin<v1,v2>就是負值，否則就輸正值。“順負逆正”
sin函數(shù)的符號就是叉積的符號
叉積的一個非常重要性質(zhì)是可以通過它的符號判斷兩矢量相互之間的順逆時針關(guān)系：
若 P × Q > 0 , 則P在Q的順時針方向。（用手勢判斷，大拇指朝上）
若 P × Q < 0 , 則P在Q的逆時針方向。
若 P × Q = 0 , 則P與Q共線，但可能同向也可能反向。
a×b的方向：四指由a開始，指向b，拇指的指向就是a×b的方向，垂直于a和b所在的平面；（大拇指朝上為正）

向量的極角

求α
tan α=y/x
這里的極角范圍是[-π， π)

double Polar_angle(int x,int y) {return atan2(y,x); }

旋轉(zhuǎn)一個向量

利用極坐標

point rotate(double alpha) {return point(x * cos(alpha) - y * sin(alpha),x * sim(alpha) + y * cos(alpha)); }

求三角形面積

此處為有向面積

double trianglearea(Point a,Point b,Point c) {return cross(b-a,c-a)/2; }

直線交點

Point getline(Point p,Vector v,Point q,Vector w) {Vector u=p-q;double t=cross(w,u)/cross(v,w);return p+v*t; }

有正負性質(zhì)

點到直線距離

double distancetoline(Point p,point a,Point b) {Vector v1=b-a,v2=p-a;return fabs(cross(v1,v2))/length(v1); }

點在直線上的投影

double getlineprojection(Point p,Point a,Point b) {Vector v=b-a;return a+v*(dot(v,p-a)/dot(v,v)); }

dot(v,v):ab的模長
dot(v,p-a):ab的模長 * ap的模長

判斷兩條線段是否相交

bool segement(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2) {double c1=cross(a2-a1,b1-a1);double c2=cross(a2-a1,b2-b1);double c3=cross(b2-b1,a1-b1);double c4=cross(b2-b1,a2-b1);return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0; }

返回是否等號
相當(dāng)于判斷b1和b2是否在線段a1a2的兩側(cè)

點與直線的位置關(guān)系

點是否在直線左側(cè)

利用叉積的性質(zhì)

bool onleft(Line l,Point p) {return cross(l.v,p-l.p)>0; }

點p是否在直線l的左側(cè)
大于 0說明點在線段的左側(cè)

點是否在直線上

bool on_line(Line l,Point p) {return fabs(cross(l.v,p-l.p))<eps; }

點是否在線段上

bool on_seg(Point a,Point b,Point p) {bool flag1=fabs((p-a),(b-a))<eps;//AB與PA的叉積=0 bool flag2=dot(p-a,p-b)<-eps;//PA與PB的點積<0 return flag1&flag2; }

點與多邊形的位置關(guān)系

判斷點與多邊形的內(nèi)部，外部或者邊上（不一定為凸多邊形）
判斷點在邊哪一側(cè)（適用于凸多邊形）

掃描法：

從給定點水平向右放出射線，根據(jù)射線與多邊形交點個數(shù)的奇偶性來判斷
考慮特殊情況：射線與頂點相交或與邊重合
解決方法：水平邊不考慮，頂點只考慮在對應(yīng)邊上較高或較低的點

轉(zhuǎn)角法

求出從一固定點沿某一方向每次連接多邊形上相鄰兩點所成有向角之和
若該點在多邊形內(nèi)，角度和為360度，在多邊形外則為0度

利用叉積來求角度（帶方向）

線段與多邊形位置關(guān)系

先判斷線段的兩個端點
若線段與某條邊嚴格相交，則必然不在多邊形內(nèi)

若線段與若干頂點相交，則需要考慮相鄰交點連成的線段是否在多邊形內(nèi)

多邊形的面積

與轉(zhuǎn)角法類似，只需要每次所形成的三角形的有向面積累加即可

double area(Vector<Point>poly) {double sum=cross(poly[0],poly[poly.size()-1]);for(int i=1;i<poly.size();i++)sum+=cross(poly[i],poly[i-1]);return sum/2; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的计算几何基础-1的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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