可持久化并查集

可持久化并查集 = 按秩合并并查集 + 可持久化數組

首先并查集不能采用路徑壓縮，這是因為一次findR操作中，fa數組的很多位置（u->ru）會發生修改，由于每次修改都需要在可持久化數組上復制產生log個新結點，空間復雜度過大。我們不希望每個版本的fa數組的差別太大，最好只有常數個位置改變。

啟發式合并/按秩合并

當 merge(u,v) 時，找到ru,rv后，讓 sz 小的接在sz大的下面：

if(sz[ru] > sz[rv]) swap(ru,rv); fa[ru] = rv; sz[rv] += sz[ru]

或者讓高度（到葉子的最長距離）height 小的接在 height 大的下面：

if(height[ru] > height[rv]) swap(ru,rv); fa[ru] = rv; if(height[ru] == height[rv]) ++height[rv];

按sz合并一般稱為啟發式合并，按height合并一般稱為按秩合并，二者的復雜度都是logN（每向上走1條邊，身處的子樹sz至少擴大1倍），且每次 merge 操作時，fa數組只有2個位置會發生修改(fa[ru]和sz[rv])，直接用可持久化下標線段樹維護fa數組就可以實現可持久化。
空間復雜度是O(NlogN)
時間復雜度是O($Nlo{g}^{2}N$)

例題：

P3402 可持久化并查集
「NOI2018」歸程

總結

以上是生活随笔為你收集整理的可持久化4--可持久化并查集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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