P2480 [SDOI2010]古代豬文

題意：

給你n和g，求$g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
p=999911659

題解：

這個一個綜合性很強的數論題
涉及到歐拉定理，Lucas定理，中國剩余定理，挺好的一個題
首先根據歐拉定理推論：

若正整數a，n互質，對于任意的正整數b，有$a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}?(n)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

所以
$=g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}?(p)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
$?(p)=p?1=999911658$
$=g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911658}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
現在的關鍵在于求${\sum }_{d|n}{C}_n^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911658$,
999911658不是質數，咋搞？那我們可以將其質因子分解：999911658=4679 * 3 * 2 *35617，每個質因子的次數都是1，所以我們只需要用CRT來求解如下的方程組

求出p后，最后再一個快速冪輸出答案

CRT：

inline ll CRT() {ll ans=0;for(register int i=1;i<=cnt;i++){ll M=mod/p[i],t=qpow(M,p[i]-2,p[i]);ans=(ans+a[i]%mod*t%mod*M%mod)%mod;}return (ans+mod)%mod; }

Lucas組合數：

ll C(int a, int b, ll mod) {if (b > a)return 0;return fac[a] % mod * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod; } ll Lucas(ll n, ll m, ll p) {if (m == 0)return 1;return Lucas(n / p, m / p, p) * C(n % p, m % p, p) % p; }

遞推求階乘逆元

$(n?1)!\times n[n!{]}^{?1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$

void init() {fact[0] = 1;for (int i = 1; i < maxn; i++) {fact[i] = fact[i - 1] * i %mod;}inv[maxn - 1] = power(fact[maxn - 1], mod - 2);for (int i = maxn - 2; i >= 0; i--) {inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) %mod;} }

代碼：

but，代碼存在問題，還沒修改出哪里錯了

目前95分，錯了第一個點，人傻了

// Problem: P2480 [SDOI2010]古代豬文 // Contest: Luogu // URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2480 // Memory Limit: 125 MB // Time Limit: 1000 ms // Data:2021-08-26 15:50:36 // By Jozky#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef LOCALstartTime= clock();freopen("in.txt", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef LOCALendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } const int maxn= 4e4 + 9; ll n, g; ll fac[maxn]; ll inv[maxn]; const int mod= 999911659; ll p[maxn]; ll c[maxn]; ll a[maxn]; int cnt= 0; int tot= 0; ll poww(ll a, ll b, ll mod) {ll ans= 1;while (b) {if (b & 1)ans= ans * a % mod;a= a * a % mod;b>>= 1;}return ans % mod; } ll exgcd(int a, int b, ll &x, ll &y) {if (b == 0) {x= 1;y= 0;return a;}int gcd= exgcd(b, a % b, x, y);ll t= x;x= y;y= t - a / b * y;return gcd; } ll CRT(int k, ll a[], ll r[], ll mod) {ll n= 1, ans= 0;ll x,y;for (int i= 1; i <= k; i++)n= n * r[i];for (int i= 1; i <= k; i++) {ll m= n / r[i];exgcd(m, r[i], x, y);ans= (ans + a[i] % mod * m % mod * x % mod) % mod;}return (ans % mod + mod) % mod; } ll C(int a, int b, ll mod) {if (b > a)return 0;return fac[a] % mod * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod; } ll Lucas(ll n, ll m, ll p) {if (m == 0)return 1;return Lucas(n / p, m / p, p) * C(n % p, m % p, p) % p; } void init(int p) {fac[0]= 1;for (int i= 1; i < p; i++) {fac[i]= fac[i - 1] * i % p;}inv[p]=0;inv[p-1]=poww(fac[p-1],p-2,p);for(register int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p; } void calc(int x) {init(p[x]);for (int i= 1; i <= tot; i++) {a[x]= (a[x] + Lucas(n, c[i], p[x])) % p[x];} }int main() {//rd_test();cin >> n >> g;if (g % mod == 0) {printf("0--\n");return 0;}ll phi= mod - 1;for (int i= 2; i * i <= (mod - 1); i++) { //對mod-1進行質因子分解if (phi % i == 0) {p[++cnt]= i;while (phi % i == 0)phi= phi / i;}}if (phi != 1)p[++cnt]= phi;for (int i= 1; i * i <= n; i++) { //c存的是n的因子if (n % i == 0) {c[++tot]= i;if (i * i != n)c[++tot]= n / i;}}for (int i= 1; i <= cnt; i++)calc(i); //預初理出組合數情況ll sum= CRT(cnt, a, p, mod - 1)%mod;printf("%lld\n", poww(g, sum, mod) % mod);//Time_test(); }

AC代碼

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> using namespace std; #define Mod 999911659 #define mod 999911658 #define maxn 40005 typedef long long ll; ll n,g; ll d[maxn],tot; ll p[10],cnt;inline ll qpow(ll a,ll k,ll p) {ll res=1;while(k){if(k&1) res=(res*a)%p;a=(a*a)%p;k>>=1;}return res%p; }ll fac[maxn],inv[maxn]; inline void init(ll p) {fac[0]=1;for(register int i=1;i<p;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;inv[p]=0;inv[p-1]=qpow(fac[p-1],p-2,p);for(register int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p; }inline ll C(ll n,ll m,ll p) {if(m>n) return 0;return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p; }inline ll Lucas(ll n,ll m,ll p) {if(m==0) return 1;return Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p; }ll a[10]; inline void calc(int x) {init(p[x]);for(register int i=1;i<=tot;i++)a[x]=(a[x]+Lucas(n,d[i],p[x]))%p[x]; }inline ll CRT() {ll ans=0;for(register int i=1;i<=cnt;i++){ll M=mod/p[i],t=qpow(M,p[i]-2,p[i]);ans=(ans+a[i]%mod*t%mod*M%mod)%mod;}return (ans+mod)%mod; }int main() {scanf("%lld%lld",&n,&g);if(g%Mod==0){printf("0\n");return 0;}ll t=mod;for(register int i=2;i*i<=mod;i++){if(t%i==0){p[++cnt]=i;while(t%i==0) t=t/i;}}if(t!=1) p[++cnt]=t;for(register int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){d[++tot]=i;if(i*i!=n) d[++tot]=n/i;}}for(register int i=1;i<=cnt;i++) calc(i);printf("%lld",qpow(g,CRT(),Mod));return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P2480 [SDOI2010]古代猪文(数论好题)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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