cf451E. Devu and Flowers

題意：

有n個箱子，第i個箱子里有ai朵花，同一個箱子里花的顏色一樣，不同箱子里的花顏色不一樣。現在在這些箱子里選出m朵花組成一束，求一共有多少種方案。要求任意兩束花都不一樣

題解：

設第i個箱子里花的顏色是Bi，則本題就等價于從多集合S={A1 * B1，A2 * B2 …An * Bn}中選出M個元素能夠產生的不同多重集的數量。根據多重集組合數的結論有：
$C_{N+M?1}^{N?1}?{\sum }_{i=1}^N{C}_{N+M?A_i?1}^{N?1}+{\sum }_{1<=i<j<=N}{C}_{N+M?A_i?A_j?3}^{N?1}?....+(?1{)}^N{C}_{N+M?{\sum }_{i=1}^N{A}_i?(N+1)}^{N?1}$
具體證明略
對于這種容斥，我們一般用x在二進制表示下，第i位為1則說明選中第i位，x的二進制下共有p個1，就相當于選了p位，就可以用x來枚舉上述式子
$(?1{)}^p{\sum }_{N+M?A_{i_1}?A_{i_2}....?A_{i_p}?(p+1)}^{N?1}$
這樣就可以得到容斥原理計算多重集組合數的公式的每一項
在求組合數過程中我們可以用Lucas進行優化
詳細看代碼

代碼：

// Problem: E. Devu and Flowers // Contest: Codeforces - Codeforces Round #258 (Div. 2) // URL: https://codeforces.com/contest/451/problem/E // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 4000 ms // Data:2021-09-02 11:04:13 // By Jozky#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef LOCALstartTime= clock();freopen("in.txt", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef LOCALendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } // const int maxn=; const int mod= 1e9 + 7; ll a[30]; ll inv[30]; ll poww(ll a, ll b) {ll ans= 1;while (b) {if (b & 1)ans= ans * a % mod;a= a * a % mod;b>>= 1;}return ans % mod; } void init() {for (int i= 1; i <= 20; i++)inv[i]= poww(i, mod - 2); } ll n, m; ll C(ll n, ll m) {if (m < 0 || n < 0 || n < m)return 0;n%= mod;if (n == 0 || m == 0)return 1;ll a= 1, b= 1;for (int i= 0; i < m; i++) {a= (a * (n - i)) % mod;b= (b * inv[i + 1]) % mod;}return a * b % mod; } ll Lucas(ll n, ll m) {if (n < m)return 0;if (m == 0)return 1;return Lucas(n / mod, m / mod) * C(n % mod, m % mod) % mod; } int main() {//rd_test();init();cin >> n >> m;for (int i= 1; i <= n; i++)read(a[i]);ll ans= 0;for (int x= 0; x < (1 << n); x++) {if (x == 0) {ans= (ans + Lucas(n + m - 1, n - 1)) % mod;}else {ll t= n + m;int p= 0;for (int i= 0; i < n; i++) {if ((x >> i) & 1) {p++;t-= a[i + 1];}}t-= (p + 1);// cout << "t=" << t << endl;if (p & 1) {ans= (ans - Lucas(t, n - 1)) % mod;}else {ans= (ans + Lucas(t, n - 1)) % mod;}}// cout << "ans=" << ans << endl;}cout << (ans + mod) % mod << endl;//Time_test(); }

總結

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