P1447 [NOI2010] 能量采集

題意：

如果一棵植物與能量匯集機器(坐標為0，0)連接而成的線段上有 k 棵植物，則能量的損失為 2k + 1
給你一個n*m的植物園，問能量損失是多少
1<=n,m<=1e5

題解：

本題所求式子為：${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}gcd(i,j)?2?1$
式子如何求的？
參考這個AcWing 201. 可見的點
對于90%的數據，直接for循環就行
但是現在是acm賽制，要都過
本題思路參考這個，我只能說太秒了
設f[x]為gcd(i,j)=x的數對(i,j)的個數
答案就是${\sum }_{x=1}^{n}f[x]?2?1$
但是f[x]不好求啊
我們可以利用容斥來做
令g[x]為存在公因子=x的數對(i,j)的個數,注意不是最大公因數，而是存在公因子
$g[x]=?\frac{n}{x}???\frac{m}{x}?$
（1~n中是被x整除的數量為$?\frac{n}{x}?$）
但是這些數中有一些最大公因數為2d，3d，4d,這些數重復添加，所以我們需要刪去
所以：f[x]=g[x]-${\sum }_{i?x=2?x}^{min(n,m)}f[i?x]$
從后向前枚舉x，這樣可以用已知的f[i*x]去更新f[x]
復雜度O(nlog n)

代碼：

#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elsestartTime = clock ();freopen("in.txt", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elseendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } const int N=100010; int n,m; ll f[N],ans; ll g[N]; int main(){scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);for(int i=n;i>=1;--i){g[i]=1ll*(n/i)*(m/i);for(int j=i*2;j<=n;j+=i)g[i]-=f[j];f[i]=g[i];ans+=(i*2-1)*f[i];}printf("%lld",ans);return 0; }

總結

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