CF1550F Jumping Around

題意：

數(shù)軸上順次有 n 個(gè)點(diǎn)$a_1<a_2<?<a_n。$
有一只小青蛙，初始時(shí)在$a_s$處。小青蛙有兩個(gè)參數(shù)：步長 d 和靈活程度 k。其中，步長 d 是確定的，而靈活程度 k 是可以調(diào)整的

小青蛙可以從某個(gè)點(diǎn)跳到另一個(gè)點(diǎn)。但這是有要求的：小青蛙能從 $a_i$跳到$a_j$，當(dāng)且僅當(dāng) $d?k\le |a_i?a_j|\le d+k$

給定 $a_1,...,a_n$和 d。你需要回答 q 次詢問，每次詢問給定一個(gè)一個(gè)下標(biāo) i和靈活程度 k ，你需要回答：此時(shí)的小青蛙能否跳到 $a_i？$

$保證1\le n,q\le 2\times 10^5，1\le s,i\le n，1\le a_i,d,k\le 10^6，a_1<a_2<?<a_n。$

題解：

我一開始想，滿足這個(gè)式子$d?k\le |a_i?a_j|\le d+k$就可以跳，那我直接查詢區(qū)間[l,r]的相鄰差值最大值和最小值，然后看是否符合式子。但是第二個(gè)樣例就不對，隨后我突然明白，u不能直接到達(dá)v，但是u可以先到達(dá)其他點(diǎn)x，再到達(dá)v。
我們現(xiàn)在換個(gè)思路想，當(dāng)參數(shù)為k時(shí)，如果我們可以走到一個(gè)節(jié)點(diǎn)x，參數(shù)大于k時(shí)我們也可以走到該節(jié)點(diǎn)。那么我們就開始考慮對于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，求出可以走到它的最小的k。
對于這個(gè)式子：
$d?k\le |a_i?a_j|\le d+k$
$?k\le |a_i?a_j|?d\le k$
$||a_i?a_j|?d|\le k$
也就是滿足這個(gè)式子，點(diǎn)i就可以到達(dá)點(diǎn)j，我們可以將$||a_i?a_j|?d|$當(dāng)作邊權(quán)，如果點(diǎn)u可以到達(dá)點(diǎn)v，那么其路徑上的最大值<=k,為了讓u能到達(dá)v，我們希望路徑上最大值最小，那不就是跑最小生成樹
本題中邊的數(shù)量是$O(n^2)$,prim和kruskal都會超時(shí)，因此要用另一個(gè)最小生成樹的算法boruvka算法。
這個(gè)算法不詳細(xì)介紹了，詳情見boruvka算法
算法的關(guān)鍵（也是復(fù)雜度與邊權(quán)有關(guān)的地方）就是找最小邊權(quán)的邊，本題中邊權(quán)是有性質(zhì)的
現(xiàn)在我們要想$||a_i?a_j|?d|\le k$值最小，設(shè)$a_i$在連通塊內(nèi)，$a_j$在連通塊外，那對于每個(gè)$a_i$,我們找$a_j$最接近$a_i+d$或者$a_i?d$的點(diǎn)，然后取最小即可
具體操作為：
我們可以維護(hù)一個(gè)set，先存所有的a，然后對于一個(gè)連通塊，枚舉連通塊內(nèi)所有的點(diǎn)，把他們從set中刪除，此時(shí)set中所有點(diǎn)都在這個(gè)連通塊外。然后再枚舉連通塊內(nèi)的所有點(diǎn)i，用set二分查找距離$a_i+d$或者$a_i?d$的點(diǎn)。直接在set上二分四次就找到了。最后再把所有點(diǎn)加回來。
二分找最小邊權(quán)的復(fù)雜度是O(nlog n)
總復(fù)雜度是$O(nlo{g}^{2}n)$
因?yàn)槲覀冎钡狡瘘c(diǎn)，把起點(diǎn)當(dāng)作跟跑一邊dfs，求出到其他點(diǎn)的路徑上的最大值，如果詢問中k大于這個(gè)最大值，就是Yes，否則就是No

代碼：

#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elsestartTime = clock ();freopen("data.in", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef ONLINE_JUDGE #elseendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } const int maxn=2e6+9; int n,m,q,s,d; set<int>st; int fa[maxn]; int a[maxn]; int id[maxn]; vector<PII>g[maxn]; int find(int x){if(fa[x]==x)return x;return fa[x]=find(fa[x]); } int getd(int x,int y){return abs(abs(x-y)-d); } void check(int &u,int &v,int x,int y){if(x==INF_int||y==INF_int)return ;if(getd(x,y)<getd(u,v)){u=x;v=y;} } struct node{int u,v,w; }e1[maxn<<2]; vector<int>block[maxn]; void boruvka(){int m=n-1;while(m){for(int i=1;i<=n;i++)block[i].clear();for(int i=1;i<=n;i++)block[find(i)].push_back(i);int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(find(i)==i){//找到一個(gè)連通塊 int u=0,v=INF_int;for(int j=0;j<block[i].size();j++){st.erase(st.find(a[block[i][j]]));//刪除連通塊內(nèi)元素 }for(int j=0;j<block[i].size();j++){check(u,v,a[block[i][j]],*st.lower_bound(a[block[i][j]]+d));check(u,v,a[block[i][j]],*(--st.lower_bound(a[block[i][j]]+d)));check(u,v,a[block[i][j]],*st.lower_bound(a[block[i][j]]-d));check(u,v,a[block[i][j]],*(--st.lower_bound(a[block[i][j]]-d)));} if(u!=0)//如果找到最小邊，建最下生成樹{e1[++cnt]=(node){id[u],id[v],getd(u,v)};} for(int j=0;j<block[i].size();j++)st.insert(a[block[i][j]]);}}for(int i=1;i<=cnt;i++){if(find(e1[i].u)!=find(e1[i].v)){m--;int u=e1[i].u;int v=e1[i].v;int w=e1[i].w;g[u].push_back({v,w});g[v].push_back({u,w});fa[find(u)]=find(v);}}}} int ans[maxn]; void dfs(int u,int fa,int mx){ans[u]=mx;for(auto it:g[u]){int v=it.first;int w=it.second;if(v!=fa)dfs(v,u,max(mx,w));} } int main() {//rd_test();cin>>n>>q>>s>>d;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];block[i].push_back(i);st.insert(a[i]);fa[i]=i;id[a[i]]=i;}st.insert(-INF_int);st.insert(INF_int);boruvka();dfs(s,0,0);while(q--){int i,k;cin>>i>>k;if(ans[i]<=k)puts("Yes");else puts("No");}return 0;//Time_test(); }

總結(jié)

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