Codeforces博客

簡介：

前置知識：狀壓dp
Sum over Subsets dynamic programming，簡稱Sos dp,狀壓dp的一種
用一個列題引出SOS dp：
給你一個由$2^N$個整數組成的確定數組A，我們需要計算對于任意的x，$F(x)=所有A[i]的和sum$且x&i=i,i是x的子集
整理成公式就是：
$$F[mask]=\sum _{i\in mask}A[i]$$
i∈mask就是&mask=i
F[mask]里面包含了mask所有二進制子集的信息
復雜度為$O(n?log(n))$
$dp[mask][i]$ 表示 $x\&mask=x,x^{\wedge }mask<2^{i+1}$的A[x]的和
也就是dp[mask][i]是和mask只有前i個位(最靠右的i位)不同的A[x]的和
轉移方程有：

如圖：

可以理解為：每次我求解一個狀態時，只從他的所有子集里和他只差一位的狀態轉移過來
代碼：

//iterative version for (int mask= 0; mask < (1 << N); ++mask) {dp[mask][-1]= A[mask]; //handle base case separately (leaf states)for (int i= 0; i < N; ++i) {if (mask & (1 << i))dp[mask][i]= dp[mask][i - 1] + dp[mask ^ (1 << i)][i - 1];elsedp[mask][i]= dp[mask][i - 1];}F[mask]= dp[mask][N - 1]; }//memory optimized, super easy to code. for (int i= 0; i < (1 << N); ++i)F[i]= A[i]; for (int i= 0; i < N; ++i){for (int mask= 0; mask < (1 << N); ++mask) {if (mask & (1 << i))F[mask]+= F[mask ^ (1 << i)];} }

擴展應用：

CF1208F
CF165E
CF383E
Covering Sets CodeChef - COVERING
CF449D
CF800D

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SOS_dp算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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