BZOJ4589. Hard Nim

題意：

Claris和NanoApe在玩石子游戲，他們有n堆石子，規則如下：

Claris和NanoApe兩個人輪流拿石子，Claris先拿。

每次只能從一堆中取若干個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最后1顆石子的人獲勝。
不同的初始局面，決定了最終的獲勝者，有些局面下先拿的Claris會贏，其余的局面Claris會負。
Claris很好奇，如果這n堆石子滿足每堆石子的初始數量是不超過m的質數，而且他們都會按照最優策略玩游戲，那么NanoApe能獲勝的局面有多少種。
由于答案可能很大，你只需要給出答案對10^9+7取模的值。

題解：

首先要知道nim先手獲勝條件是所有堆的數量異或為0
那么問題就抽象為：n個數，每個數取值范圍是[2,m]中的質數，可以取重，問一共有多少種方案，使得這n個數異或為0
對于每一個2~m的質數p，我們都可以取，用數組b來存就是b[p]=1,質數都被標記為1
$C_k$表示異或和為k的方案數有多少種，b[i]=1說明第i位是質數，否則不是
有：$C_k={\sum }_{i_1\oplus i_2\oplus .....\oplus i_n=k}{b}_{i_1}\times b_{i_2}\times ....\times b_{i_n}$
因為我們要求異或和為0，所以k等于0
式子就是：
求n個序列，其中$i_1\oplus i_2\oplus .....\oplus i_n=0$
$C_0={\sum }_{i_1\oplus i_2\oplus .....\oplus i_n=0}{b}_{i_1}\times b_{i_2}\times ....\times b_{i_n}$
很明顯這就是FWT能解決的問題
但是本題中n很大，n<=1e9,如果直接乘一定會超時，我們仔細觀察，這個式子就是n個b序列，而所有b序列都是一樣的，相當于其實是n個b相乘，也就是$b^n$,所以可以通過快速相乘,結合FWT模板理解一下就懂了

代碼：

#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <queue> using namespace std; typedef long long ll; typedef int itn; typedef pair<int, int>PII; const int N = 5e5 + 7, mod = 1e9 + 7; const double PI = acos(-1.0);int n, m, limit, t; int a[N], b[N]; bool vis[N]; int primes[N], cnt;int qpow(int a, int b) {int res = 1;while(b) {if(b & 1) res = 1ll * res * a % mod;a = 1ll * a * a % mod;b >>= 1;}return res; }int inv2 = qpow(2, mod - 2);void init(int n) {for(int i = 2; i <= n; ++ i) {if(vis[i] == 0) primes[ ++ cnt] = i;for(int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; ++ j) {vis[i * primes[j]] = true;if(i % primes[j] == 0) break;}} }void XOR(int *a, int n, int type = 1) {for(int o = 2; o <= n; o <<= 1) {for(int i = 0, k = o >> 1; i < n; i += o) {for(int j = 0; j < k; ++j) {int X = a[i + j];int Y = a[i + j + k];a[i + j] = (1ll * X + Y) % mod;a[i + j + k] = ((1ll * X - Y) % mod + mod) % mod;if(type == -1) {a[i + j] = (1ll * a[i + j] * inv2) % mod;a[i + j + k] = (1ll * a[i + j + k] * inv2) % mod;}}}} }void solve() {memset(b, 0, sizeof b);memset(a, 0, sizeof a);for(int i = 2; i <= m; ++ i)if(vis[i] == 0) b[i] = 1;limit = 1;while(limit <= m) limit <<= 1;XOR(b, limit); // for(int i=0;i<=limit;i++){ // cout<<"a[i]="<<a[i]<<endl; // } // for(int i=0;i<=limit;i++){ // cout<<"b[i]="<<b[i]<<endl; // }for(int i = 0; i <= limit; ++ i) {b[i] = 1ll * qpow(b[i], n) % mod;}XOR(b, limit, -1);printf("%d\n", b[0]);return ; }int main() { // freopen("data.in", "r", stdin);init(N - 7);while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {solve();} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ4589. Hard Nim的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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