三點(diǎn)間LCA

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1.直接上題——jzoj5883. 【NOIP2018模擬A組9.25】到不了

Dscription

wy 和 wjk 是好朋友。
今天他們?cè)谝黄鹆奶?#xff0c;突然聊到了以前一起唱過(guò)的《到不了》。
“說(shuō)到到不了，我給你講一個(gè)故事吧。”
“嗯？”
“從前，神和凡人相愛(ài)了，憤怒的神王把他們關(guān)進(jìn)了一個(gè)迷宮里，迷宮是由許多棵有根樹(shù)組 成的。神王每次把兩個(gè)人扔進(jìn)其中的某一棵有根樹(shù)里面，兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)的距離為 1，兩人的 每一步都只能從兒子走到父親，不能從父親走到兒子，他們約定，走到同一個(gè)節(jié)點(diǎn)相見(jiàn)，由 于在迷宮里面行走十分消耗體力，他們決定找出那個(gè)使得他們走的總路程最少的節(jié)點(diǎn)，他們 當(dāng)然會(huì)算出那個(gè)節(jié)點(diǎn)了，可是神王有時(shí)候會(huì)把兩棵有根樹(shù)合并為一棵，這下就麻煩了。。。”
“唔。。。”
[已經(jīng)了解樹(shù)，森林的相關(guān)概念的同學(xué)請(qǐng)?zhí)^(guò)下面一段]
樹(shù)：由 n 個(gè)點(diǎn)，n-1 條邊組成的無(wú)向連通圖。
父親/兒子：把樹(shù)的邊距離定義為 1,root 是樹(shù)的根，對(duì)于一棵樹(shù)里面相鄰的兩個(gè)點(diǎn) u,v，到 root 的距離近的那個(gè)點(diǎn)是父親，到 root 距離遠(yuǎn)的那個(gè)點(diǎn)是兒子
森林：由若干棵樹(shù)組成的圖
[簡(jiǎn)化版題目描述]
維護(hù)一個(gè)森林，支持連邊操作和查詢(xún)兩點(diǎn) LCA 操作

Input

第一行一個(gè)整數(shù) N，M，代表森林里的節(jié)點(diǎn)總數(shù)和有根樹(shù)的數(shù)目。
第二行 M 個(gè)整數(shù)，第 i 個(gè)整數(shù) ri 代表第 i 棵有根樹(shù)的根是編號(hào)為 ri 的節(jié)點(diǎn)
接下來(lái) N-M 行，每行兩個(gè)整數(shù) u，v 表示 u 和 v 相鄰
接下來(lái)一行一個(gè)整數(shù) Q，表示 Q 個(gè)事件發(fā)生了
接下來(lái) Q 行，每行若干個(gè)整數(shù)，表示一個(gè)事件
如果第一個(gè)數(shù) op=1，接下來(lái)兩個(gè)整數(shù) u,v,代表神王把 u 號(hào)節(jié)點(diǎn)所在的樹(shù)和 v 號(hào)節(jié)點(diǎn)所在的樹(shù) 合并到一起(即 u 到 v 連了一條邊)，新的根為原來(lái) u 號(hào)節(jié)點(diǎn)所在的樹(shù)的根(如果 u,v 已經(jīng)聯(lián)通， 忽略這個(gè)事件)。
如果第一個(gè)數(shù) op=2，接下來(lái)兩個(gè)整數(shù) u，v，代表一次詢(xún)問(wèn)，當(dāng)一個(gè)人在 u 號(hào)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)人 在 v 號(hào)節(jié)點(diǎn)，詢(xún)問(wèn)他們找到的那個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)

Output

對(duì)于每一個(gè)詢(xún)問(wèn)(op=2 的操作)，輸出一行一個(gè)整數(shù)，代表節(jié)點(diǎn)編號(hào)，如果 u，v 不聯(lián)通，輸 出 orzorz。

Sample Input

【樣例 1】
2 2
1 2
2
1 1 2
2 1 2
【樣例 2】
2 2
1 2
2
1 2 1
2 1 2

Sample Output

【樣例 1】
1
【樣例 2】
2

Data Constraint

對(duì)于 30%的數(shù)據(jù) 1 ≤ N ≤ 1000 1 ≤ Q ≤ 1000
對(duì)于 100%的數(shù)據(jù) 1 ≤ N ≤ 100000 1 ≤ Q ≤ 100000

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2.1Solution

顯然可以LCT吧，這里不再撰述。

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2.2Solution

通過(guò)歸納證明我們發(fā)現(xiàn)：

這一問(wèn)題其實(shí)就是在求三點(diǎn)間。

顯然三點(diǎn)間并不是依次后的結(jié)果。

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• 結(jié)論：
• 證明：歸納證明易得（非要看證明請(qǐng)見(jiàn)這位學(xué)長(zhǎng)的博客：詳細(xì)的歸納證明）。

所以此題就很容易地用并查集解決了。?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三点间LCA的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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