后綴數組SA

模板

花了不少時間才理解倍增求$SA$的實現方法，我還是太菜了。

定義$sa[i]$表示排名為$i$的后綴的起始位置。
定義$rank[i]$表示起始位置為$i$的后綴的排名。
顯然兩者之前互逆。

void solve() {int m=122;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]=0;for (int i=1;i<=n;i++) cnt[x[i]=a[i]]++;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for (int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[i]]--]=i;for (int k=1;k<=n;k<<=1){int p=0;for (int i=1;i<=m;i++) y[i]=0;for (int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++p]=i;for (int i=1;i<=n;i++) if (sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;for (int i=0;i<=m;i++) cnt[i]=0;for (int i=1;i<=n;i++) cnt[x[y[i]]]++;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for (int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i];swap(x,y);x[sa[1]]=p=1;for (int i=2;i<=n;i++)x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?p:++p;if (p>=n) break;m=p;} }

Height以及LCP

定義$LCP(x,y)$表示字符串$x$與$y$之間的最長公共前綴長度。

定義$height[i]$表示$suffix[sa[i?1]]$和$suffix[sa[i]]$的$LCP$的長度，即相鄰排名的后綴的$LCP$長度。

容易發現一個性質
對于任意的$j,k$，若$rank[j[<rank[k]$，則$suffix(j),suffix(k)$的$LCP$的長度為
$$mi{n}_{i=rank[j]+1}^{rank[k]}height[i]$$
即兩個后綴$j,k$的$LCP$長度是排名在它們之間所有的后綴（包括$suffix(k)$）的$height$值的最小值。

根據這一性質，倘若我們可以求出$height[i]$，我們就可以通過$ST$表，$O(nlgn)$預處理，$O(1)$詢問兩個后綴的$LCP$答案了。

而對于$height$數組，也有一個重要的性質：
$$height[i?1]?1\le height[i]$$
于是可以$O(n)$計算$height$了。

void get_height() {for (int i=1;i<=n;i++) rnk[sa[i]]=i;for (int i=1,j=0;i<=n;i++){if (j) j--;while (a[i+j]==a[sa[rnk[i]-1]+j]) j++;height[rnk[i]]=j;} }

SA的簡單應用

1.求最長重復子串

答案為$height$最大值。

2.求最長重復k次子串

二分答案，轉化為判斷是否存在長度為$x$的子串重復至少$k$次。將所有相鄰且$height$大于等于$x$的都分在一組，判斷是否有一組的后綴個數大于$k$即可。

時間復雜度$O(n)$

3.本質不同子串個數

答案為產生的新串數量-重復出現的串的數量。
則${\sum }_i(n?i+1)?height[rnk[i]]$。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的后缀数组SA的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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