HUD4035Maze

題目描述

Solution

很容易寫出期望的式子：
令$f_i$表示從$i$號節(jié)點開始期望幾步走出迷宮。
令$p_i=1?k_i?e_i$表示選擇走向其他邊的概率。
令$d_i$表示$i$號結(jié)點的度數(shù)。
$$\begin{gathered} f_i=k_i{f}_1+p_i\sum \frac{f_j}{d_i}+1+0e_i \\ Ans=f_1 \end{gathered}$$
直接高斯消元時間復(fù)雜度為$O(n^3)$，$TLE$。

我們發(fā)現(xiàn)這里的$f_i$只和$f_1$以及相鄰結(jié)點的$f$值有關(guān)，因此考慮把$f$表示為$A{f}_{fa}+B{f}_1+C$的形式。

于是令
$$f_i=A_i{f}_{f{a}_i}+B_i{f}_1+C_i$$
化簡上面的期望式子，得到
$$f_i=\frac{q{f}_{f{a}_i}+(q?{\sum }_j{B}_j+k_i)f_1+(q?{\sum }_j{c}_j+p_i)}{t}$$
其中$q=\frac{p_i}{d_i},t=1?q{\sum }_j{a}_j$。

于是有
$$\begin{gathered} A(i)=\frac{q}{t} \\ B(i)=\frac{q?sumb+k[x]}{t} \\ C(i)=\frac{q?sumc+p[x]}{t} \end{gathered}$$

根據(jù)遞推式從葉子向上遞推，于是可以$O(n)$解出$f_1$。

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=998244353; const int MAXN=600005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } int d[MAXN]; vector<int> E[MAXN]; double A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],e[MAXN],k[MAXN],p[MAXN]; bool check(int x,int father) {if (e[x]!=0) return 1;if (p[x]==0) return 0;for (auto v:E[x])if (v!=father&&check(v,x)) return 1;return 0; } void tree_dp(int x,int father) {double sa=0,sb=0,sc=0;for (auto v:E[x]){if (v==father) continue;tree_dp(v,x);sa+=A[v],sb+=B[v],sc+=C[v];}double q=p[x]/d[x],t=1-q*sa;A[x]=q/t;B[x]=(q*sb+k[x])/t;C[x]=(q*sc+p[x])/t; } int main() {int Case=read();for (int q=1;q<=Case;q++){int n=read();for (int i=1;i<=n;i++) E[i].clear(),d[i]=0;for (int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read();E[u].PB(v),E[v].PB(u),d[u]++,d[v]++;}for (int i=1;i<=n;i++){int x=read(),y=read();k[i]=x*0.01,e[i]=y*0.01,p[i]=(100-x-y)*0.01;}if (!check(1,0)) printf("Case %d: impossible\n",q);else {tree_dp(1,0);printf("Case %d: %.9lf\n",q,C[1]/(1-B[1]));}}return 0; }

總結(jié)

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