鏈式反應

題目描述

不想看題面，其實就是給定$p(x)$，有$f^{\prime }(x)=f(x{)}^{2}p(x)+1$，求$f$這個多項式的冪級數形式前$n$項。

Solution

式子可以寫成$f_n={\sum }_{i,j}[0<=i+j<n]f_i{f}_j{p}_{n?i?j?1}$。

顯然能分治$FFT$。
設分治區間為$[l,r]$，考慮$[l,mid]$對$[mid+1,r]$的貢獻。
當$l=1$時，貢獻為
$$\sum _{i=0}^{mid}\sum _{j=0}^{mid}\sum _{k=0}^r{f}_i{f}_j{p}_k$$
當$l>1$時，有$2l>r$，因此貢獻為
$$2\sum _{i=l}^{mid}\sum _{j=0}^{r?l}\sum _{k=0}^{r?l}{f}_i{f}_j{p}_k$$
時間復雜度兩只$lg$。
注意這里的$f,p$始終是一個$EGF$。

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=998244353; const int g=3; const int gi=(mods+1)/3; const int MAXN=2000005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } int Limit,L; char st[MAXN]; int F[MAXN],G[MAXN],P[MAXN],H[MAXN],Q[MAXN],rev[MAXN],inv[MAXN],fac[MAXN],n; inline int upd(int x,int y) { return (x+y>=mods)?x+y-mods:x+y; } inline int quick_pow(int x,int y) {int ret=1;for (;y;y>>=1){if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;x=1ll*x*x%mods;}return ret; } inline void Init(int n) {fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;inv[n]=quick_pow(fac[n],mods-2);for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mods; } void Number_Theoretic_Transform(int *A,int opt) {for (int i=0;i<Limit;i++) if (i<rev[i]) swap(A[i],A[rev[i]]);for (int i=1;i<Limit;i<<=1){int Wn=quick_pow(opt==1?g:gi,(mods-1)/(i<<1));for (int j=0;j<Limit;j+=(i<<1))for (int k=j,w=1;k<j+i;k++,w=1ll*w*Wn%mods){int x=A[k],y=1ll*A[k+i]*w%mods;A[k]=upd(x,y),A[k+i]=upd(x,mods-y);}}if (opt==-1){int invlim=quick_pow(Limit,mods-2);for (int i=0;i<Limit;i++) A[i]=1ll*A[i]*invlim%mods;} } void solve(int l,int r) {if (l==r) { if (l==1) F[l]=(mods+1)>>1;else F[l]=1ll*F[l]*inv[l]%mods*fac[l-1]%mods;printf("%d\n",2ll*F[l]*fac[l]%mods);return; }int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);if (l==1){Limit=1,L=0;int len=mid*2+r;while (Limit<=len) Limit<<=1,L++;for (int i=0;i<Limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));for (int i=0;i<Limit;i++) H[i]=G[i]=0;for (int i=0;i<=r;i++) H[i]=P[i];for (int i=0;i<=mid;i++) G[i]=F[i];Number_Theoretic_Transform(G,1);Number_Theoretic_Transform(H,1);for (int i=0;i<Limit;i++) G[i]=1ll*G[i]*G[i]%mods*H[i]%mods;Number_Theoretic_Transform(G,-1);for (int i=mid+1;i<=r;i++) F[i]=upd(F[i],G[i]);}else{Limit=1,L=0;int len=(mid-l)+(r-l)*2;while (Limit<=len) Limit<<=1,L++;for (int i=0;i<Limit;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));for (int i=0;i<Limit;i++) H[i]=G[i]=Q[i]=0;for (int i=0;i<=r-l;i++) H[i]=P[i];for (int i=0;i<=mid-l;i++) G[i]=F[i+l];for (int i=0;i<=r-l;i++) Q[i]=F[i];Number_Theoretic_Transform(G,1);Number_Theoretic_Transform(Q,1);Number_Theoretic_Transform(H,1);for (int i=0;i<Limit;i++) G[i]=1ll*G[i]*Q[i]%mods*H[i]%mods;Number_Theoretic_Transform(G,-1);for (int i=mid+1;i<=r;i++) F[i]=upd(F[i],upd(G[i-l],G[i-l]));}solve(mid+1,r); } int main() {n=read();Init(n);scanf("%s",st);for (int i=1;i<=n;i++) P[i]=(st[i-1]-'0')*inv[i-1];solve(1,n);return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的链式反应的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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