2018 ACM-ICPC World Finals Problem D.Gem Island

Solution

其實就是求$x_1+x_2+?+x_n=n+d,x_i\in [1,d+1]$的前$r$大的$x_i$的和的期望，可以發現每一種不同的序列$\{x_i\}$的出現概率都是一個定值：$$\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d?1}{d}\right)}$$

因此我們只需要求出所有方案的前$r$大的$x_i$的和，再乘以這個概率即可。
于是我們沿用loj6077的$dp$做法，注意這里我們只考慮分裂產生的貢獻，因此$x_i$的范圍為$[0,d]$，求$x_1+x_2+?+x_n=d$的貢獻和，最后的答案需要再加上$r$，令$f_{i,j}$表示$i$個人，分裂$j$次的前$r$大寶石個數和。

考慮這個序列中有$k$個大于$0$的數，它們都是被加若干個$1$過來的，有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)$種方案選出這些數，本次分裂產生的貢獻和為$min(k,r)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j?k+(k?1)}{k?1}\right)$，而之后的貢獻為$f_{k,j?k}$，因此有：
$$f_{i,j}=\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)(min(k,r)(\genfrac{}{}{0ex}{}{j?1}{k?1})+f_{k,j?k})$$

時間復雜度為$O(nd?min(n,d))$。

事實上本題還有$O(d^2+nd)$求出所有$r$的答案的容斥做法，但是比較復雜，且精度丟失比較嚴重，這里不作描述。

Code

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=1e9+7; const int MAXN=1005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } lod f[MAXN][MAXN],C[MAXN][MAXN]; void Init(int n) {for (int i=0;i<=n;i++) C[i][i]=C[i][0]=1;for (int i=2;i<=n;i++)for (int j=1;j<i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]; } signed main() {int n=read(),d=read(),r=read(); Init(n+d);for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=0;j<=d;j++)for (int k=0;k<=i&&k<=j;k++) f[i][j]+=C[i][k]*((j?C[j-1][k-1]:0)*min(k,r)+f[k][j-k]);printf("%.11lf\n",(double)(f[n][d]/C[n+d-1][d]+r));return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2018 ACM-ICPC World Finals Problem D.Gem Island的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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