ARC114E - Paper Cutting 2

Solution

考場(chǎng)上時(shí)間不夠，沒剛出來QAQ。

做法和官解本質(zhì)相同，只是官解運(yùn)用期望的線性性直接導(dǎo)出答案，而這里是對(duì)于所有方案統(tǒng)計(jì)貢獻(xiàn)在除以方案數(shù)，從期望的定義上計(jì)算答案。可能稍顯復(fù)雜。

Part one

我們要求的是合法操作序列的期望長(zhǎng)度。

問題大概可以用一個(gè)類似《PKUWC2018獵人殺》的經(jīng)典的套路轉(zhuǎn)化為：
設(shè)有一個(gè)$W+H?2$條線組成的排列$p_1{p}_2...p_n$，其中$p_i$的貢獻(xiàn)為$1$當(dāng)且僅當(dāng)不存在一個(gè)$p_j(j<i)$可以把$p_i$叉掉，也就是說$p_i$前面沒有一個(gè)能結(jié)束游戲或者把$p_i$的那一半白紙去掉的數(shù)，否則$p_i$貢獻(xiàn)為$0$，一個(gè)排列的貢獻(xiàn)是所有數(shù)的貢獻(xiàn)和。

不難看出每個(gè)排列都映射到一組合法操作序列（即貢獻(xiàn)為$1$的$p_i$序列），每個(gè)排列的貢獻(xiàn)對(duì)應(yīng)一組合法方案的長(zhǎng)度，根據(jù)期望的定義（$\sum c_i{p}_i$）容易證明上面所有排列的期望貢獻(xiàn)和就是我們要求的合法方案的長(zhǎng)度和。

Part two

因此我們想要求所有$W+H?2$條線的$(W+H?2)!$種排列的期望貢獻(xiàn)，我們可以求出所有排列的貢獻(xiàn)再除以方案數(shù)。

于是問題變成怎么求$(W+H?2)!$種排列的貢獻(xiàn)和。

這里我們運(yùn)用類似這場(chǎng)$ARC$的$C$題的方法，對(duì)于每個(gè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)其對(duì)答案的貢獻(xiàn)。也就是考慮這個(gè)數(shù)$x$會(huì)在多少個(gè)排列里貢獻(xiàn)為$1$，即有多少個(gè)排列滿足在$x$之前不存在能叉掉$x$的數(shù)。

設(shè)行的編號(hào)為$1,2,...,H?1$列的編號(hào)為$1,2,...,W?1$，不妨令$w_1<w_2,h_1<h_2$（顯然這個(gè)順序沒有影響）。

先考慮列的貢獻(xiàn)，分類討論：

• 若$x<w_1$，則前面不能出現(xiàn)在$[x,w_1)\cup [w_1,w_2)$中的數(shù)。
• 若$w_1\le x<w_2$，則前面不能出現(xiàn)$[w_1,w_2)$中的數(shù)。
• 若$x>w_2$，則前面不能出現(xiàn)在$(w_2,x]\cup [w_1,w_2)$中的數(shù)。

對(duì)于第一種情況，我們枚舉$x$，再枚舉它在排列中的位置，貢獻(xiàn)即為：
$$\sum _{i=1}^{w_1?1}\sum _{j=1}^{W+H?2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{W+H?2?((w_2?1)?i+1)}{j?1}\right)$$
用上指標(biāo)求和化簡(jiǎn)得：
$$\sum _{j=1}^{W+H?2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{W+H?2?w_2+w_1}{j}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{W+H?2?w_2+1}{j}\right)$$
這樣就可以$O(W+H)$計(jì)算了。

第二種和第三種是類似的，行的貢獻(xiàn)也是類似的，這里就不再贅述了。

總時(shí)間復(fù)雜度$O(W+H)$。

Code

實(shí)現(xiàn)上有一點(diǎn)點(diǎn)小細(xì)節(jié)。

//省略快讀和頭文件 int fac[MAXN], inv[MAXN]; inline int upd(int x, int y) { return x + y >= mods ? x + y - mods : x + y; } inline int quick_pow(int x, int y) {int ret = 1;for (; y ; y >>= 1) {if (y & 1) ret = 1ll * ret * x % mods;x = 1ll * x * x % mods;}return ret; } inline int C(int x, int y) { return (x < y || y < 0) ? 0 : 1ll * fac[x] * inv[y] % mods * inv[x - y] % mods; } void Init(int n) {fac[0] = 1;for (int i = 1; i <= n ; ++ i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mods;inv[n] = quick_pow(fac[n], mods - 2);for (int i = n - 1; i >= 0 ; -- i) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mods; } int solve(int n, int h1, int h2, int w1, int w2, int W) {int ans = 0;if (w1 > 1)for (int i = 2; i <= n - h2 + h1 - w2 + w1 ; ++ i)ans = upd(ans, 1ll * fac[n - i] * fac[i - 1] % mods * upd(C(n - h2 + h1 - w2 + w1, i), mods - C(n - h2 + h1 - w2 + 1, i)) % mods);if (w1 < w2)for (int i = 2; i <= n - h2 + h1 - w2 + w1 + 1; ++ i)ans = upd(ans, 1ll * fac[n - i] * fac[i - 1] % mods * C(n - h2 + h1 - w2 + w1, i - 1) % mods * (w2 - w1) % mods);if (w2 < W)for (int i = 2; i <= n - h2 + h1 - w2 + w1 ; ++ i)ans = upd(ans, 1ll * fac[n - i] * fac[i - 1] % mods * upd(C(n - h2 + h1 - w2 + w1, i), mods - C(n - h2 + h1 - W + w1, i)) % mods);return upd(ans, 1ll * (W - 1) * fac[n - 1] % mods); } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in", "r", stdin); #endifint H, W, h1, w1, h2, w2, n; read(H), read(W), read(h1), read(w1), read(h2), read(w2), n = H + W - 2;if (w1 > w2) swap(w1, w2);if (h1 > h2) swap(h1, h2);Init(n);printf("%lld\n", 1ll * inv[n] * upd(solve(n, h1, h2, w1, w2, W), solve(n, w1, w2, h1, h2, H)) % mods);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ARC114E - Paper Cutting 2(组合数学，概率与期望)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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