CF1516E. Baby Ehab Plays with Permutations

Solution

因為組合水平不行所以只弄出來一個$O(k^4)$的做法（雖然隨便改改可能就$O(k^3\log k)$或者$O(k^3)$了）而且因為沒想清楚而自閉了很久，從而導(dǎo)致摸yu時間被閹割。

首先大概有個顯然的性質(zhì)：設(shè)一個任意的操作方案形成的最終序列為$a_1,a_2...a_n$，把$i$和$a_i$連邊，會形成若干個環(huán)，有個顯然的結(jié)論是到達(dá)該狀態(tài)的最少操作次數(shù)是所有環(huán)長度減一的和，而一個任意方案可以表示為最少操作方案加上若干無用操作，顯然無用操作個數(shù)為偶數(shù)（由逆序?qū)€數(shù)奇偶性可得），因此我們只需要計算最少$i$步能到達(dá)的狀態(tài)個數(shù)$An{s}_i$，再讓$An{s}_i^{\prime }={\sum }_{k=0}^{?\frac{i}{2}?}An{s}_{i?2k}$即為最終的答案。

因此我們要對每一個$i$，求出最少$i$步能到達(dá)的狀態(tài)個數(shù)。

這就相當(dāng)于取若干個環(huán)，使得所有環(huán)的長度減一的和為$i$，也就類似于做一個完全背包，取$j$個數(shù)形成環(huán)的方案數(shù)就是環(huán)排列個數(shù)$(j?1)!$，因此枚舉枚舉環(huán)長$i$，枚舉該種環(huán)的個數(shù)$p$，再枚舉環(huán)包含的點數(shù)$j$和操作次數(shù)$k$，可得：
$$f_{j,k}=\sum _p{f}_{j?ip,k?(i?1)p}(i?1{)}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{ip}\left)\prod _{t=0}^{p?1}\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{ip?it?1}{i?1})$$

$$An{s}_i=\sum _j{f}_{j,i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$$

預(yù)處理一些東西即可計算。

Code

int fac[405], Inv[405], C[405][405], f[405][205], Ans[405], tmp[405][205], inv[405], Mul[405]; int quick_pow(int x, int y) {int ret = 1;for (; y ; y >>= 1) {if (y & 1) ret = 1ll * ret * x % mods;x = 1ll * x * x % mods;}return ret; } signed main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in", "r", stdin); #endifint n, k;read(n), read(k);fac[0] = inv[0] = Inv[0] = 1;for (int i = 1; i <= k + k ; ++ i) Inv[i] = quick_pow(i, mods - 2);for (int i = 1; i <= k + k ; ++ i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mods, inv[i] = quick_pow(fac[i], mods - 2);for (int i = 0; i <= k + k ; ++ i) C[i][i] = C[i][0] = 1;for (int i = 1; i <= k + k ; ++ i)for (int j = 1; j < i ; ++ j) C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mods;f[0][0] = 1;for (int i = 2; i <= min(n, k + 1) ; ++ i) {for (int j = 0; j <= k + k ; ++ j)for (int t = 0; t <= k ; ++ t) tmp[j][t] = f[j][t], f[j][t] = 0;for (int j = 0; j <= k + k ; ++ j) Mul[j] = 1;for (int p = 0, mul = 1; p <= k ; ++ p) {for (int j = i * p ; j <= k + k ; ++ j) {for (int t = (i - 1) * p ; t <= k ; ++ t)f[j][t] = (f[j][t] + 1ll * tmp[j - i * p][t - (i - 1) * p] * Mul[i * p] % mods * mul % mods * C[j][i * p] % mods) % mods;} for (int j = k + k; j >= 0 ; -- j)if (j >= i) Mul[j] = 1ll * Mul[j - i] * C[j - 1][i - 1] % mods;else Mul[j] = 0;mul = 1ll * mul * fac[i - 1] % mods;}}for (int i = 0, mul = 1; i <= min(k + k, n) ; ++ i) {for (int j = 0; j <= k ; ++ j) Ans[j] = (Ans[j] + 1ll * f[i][j] * mul % mods * inv[i] % mods) % mods;mul = 1ll * mul * (n - i) % mods;}for (int i = 2; i <= k ; ++ i) Ans[i] = (Ans[i] + Ans[i - 2]) % mods;for (int i = 1; i <= k ; ++ i) print(Ans[i]), putc(' ');return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的CF1516E. Baby Ehab Plays with Permutations(组合数学)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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