寫在前面

$manacher$比想象中好理解得多

至少它給了我學(xué)習(xí)字符串的信心

能干啥

$manacher$，中文馬拉車（您別說，這名字還挺形象），主要用于計(jì)算字符串每一個(gè)位置為對(duì)稱中心的回文串長(zhǎng)度（等價(jià)于個(gè)數(shù)）

包括偶回文，即長(zhǎng)度為偶數(shù)的回文串

算法流程

考慮下面的問題：給一個(gè)字符串，求最長(zhǎng)回文子串

我會(huì)暴力！

枚舉判斷$O(n^3)$

我會(huì)優(yōu)化！

考慮到以$c$為中心，$acb$不是回文串，左右怎么接都不是回文串

所以可以枚舉中間點(diǎn)（偶回文判斷一下即可），然后向兩邊拓展

復(fù)雜度$O(n^2)$

我會(huì)玄學(xué)！

$O(n^2)$還不夠 不符合字符串算法均為線性復(fù)雜度公理

在此基礎(chǔ)上繼續(xù)優(yōu)化

我們記錄$maxr$為目前找到的回文串右端點(diǎn)的最右的位置 $pos$為這個(gè)回文串的對(duì)稱中心

開一個(gè)數(shù)組$p_i$表示回文半徑（和其他文章不同，本文回文半徑指一個(gè)端點(diǎn)到中心的距離，即直接相減）

回文串最本質(zhì)的特征是什么？左右關(guān)于中心對(duì)稱。

如果一個(gè)回文串對(duì)稱中心的一側(cè)有另一個(gè)回文子串，那么對(duì)稱過去也有一個(gè)相同長(zhǎng)度的回文子串

黃色部分完全一致，這就是manacher的核心

（先不考慮偶回文）

① $i<maxr$(取不取等于無所謂)

設(shè)$j,i$關(guān)于$pos$對(duì)稱 即$j=pos?2?i$

根據(jù)上面的推導(dǎo)，令$p_i=p_j$即可

當(dāng)然如果$j$為中心的最長(zhǎng)回文左端點(diǎn)越界了

那就不能保證上面的性質(zhì)（實(shí)際上可以保證不成立），所以要和$j?maxl$(即$maxr?i$)取$min$。

$j$越界時(shí)還需要讓$i$繼續(xù)拓展。當(dāng)然為了刷短代碼減少討論，都拓展一下好了

②$i\ge maxr$

啥都不能保證，直接暴力擴(kuò)展

綜上：

如果$i<maxr$,按上述條件更新$p_i$

暴力拓展

更新$maxr$和$pos$

然后……對(duì)，沒了，就三行。

這就是$manacher$的全過程，復(fù)雜度$O(n)$，后面有證明

實(shí)現(xiàn)

上面沒有討論偶回文，主要是轉(zhuǎn)化過程比較難看，容易使人喪失信心。

其實(shí)也不難。只需要在字符兩兩之間加一個(gè)字符,如‘#’；然后首尾也加上‘#’，再在開頭加一個(gè)標(biāo)識(shí)符防止越界。注意要和之前的不同，如‘@’

這樣偶回文可以看做中心是‘#’的回文

普及T1模擬水平

這樣處理后，所有回文串左右端點(diǎn)都是‘#’，然后就可以跑了

證明

什么？不是只改了一個(gè)地方嗎？怎么變$O(n)$了？

回顧整個(gè)流程，真正暴力拓展的時(shí)候要么$j$左端點(diǎn)越界，要么$i$越界($j$左端點(diǎn)沒越界時(shí)，根據(jù)反證法，$i$實(shí)際上無法拓展)

$j$左端點(diǎn)越界時(shí)，$i$右端點(diǎn)出生點(diǎn)就在$maxr$，再拓展就超出去了

也就是說，每次暴力拓展，都意味著$maxr$更新，而$maxr$只會(huì)往右跑

換一個(gè)角度，實(shí)際上暴力拓展是把$maxr$推到最右邊，次數(shù)是$O(n)$的

所以總復(fù)雜度是$O(n)$的

代碼

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #define MAXN 1000005 using namespace std; char s[MAXN],ss[MAXN]; int pos,maxr; int p[MAXN]; int main() {scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;i++) ss[i<<1]=s[i],ss[(i<<1)|1]='#';n=(n<<1)|1,ss[0]='@',ss[1]='#';strcpy(s,ss);for (int i=1;i<=n;i++){if (i<maxr) p[i]=min(p[(pos<<1)-i],maxr-i);while (s[i-p[i]-1]==s[i+p[i]+1]) ++p[i];if (i+p[i]>maxr) maxr=i+p[i],pos=i;}return 0; }

由于所有位置為中心的最長(zhǎng)回文串左右端點(diǎn)都是‘#’

回文串長(zhǎng)度$le{n}_i=\frac{2p_i+1?1}{2}=p_i$

然后用來搞事情就可以了

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Manacher入门的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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