寫在前面

$manacher$比想象中好理解得多

至少它給了我學習字符串的信心

能干啥

$manacher$，中文馬拉車（您別說，這名字還挺形象），主要用于計算字符串每一個位置為對稱中心的回文串長度（等價于個數）

包括偶回文，即長度為偶數的回文串

算法流程

考慮下面的問題：給一個字符串，求最長回文子串

我會暴力！

枚舉判斷$O(n^3)$

我會優化！

考慮到以$c$為中心，$acb$不是回文串，左右怎么接都不是回文串

所以可以枚舉中間點（偶回文判斷一下即可），然后向兩邊拓展

復雜度$O(n^2)$

我會玄學！

$O(n^2)$還不夠 不符合字符串算法均為線性復雜度公理

在此基礎上繼續優化

我們記錄$maxr$為目前找到的回文串右端點的最右的位置 $pos$為這個回文串的對稱中心

開一個數組$p_i$表示回文半徑（和其他文章不同，本文回文半徑指一個端點到中心的距離，即直接相減）

回文串最本質的特征是什么？左右關于中心對稱。

如果一個回文串對稱中心的一側有另一個回文子串，那么對稱過去也有一個相同長度的回文子串

黃色部分完全一致，這就是manacher的核心

（先不考慮偶回文）

① $i<maxr$(取不取等于無所謂)

設$j,i$關于$pos$對稱 即$j=pos?2?i$

根據上面的推導，令$p_i=p_j$即可

當然如果$j$為中心的最長回文左端點越界了

那就不能保證上面的性質（實際上可以保證不成立），所以要和$j?maxl$(即$maxr?i$)取$min$。

$j$越界時還需要讓$i$繼續拓展。當然為了刷短代碼減少討論，都拓展一下好了

②$i\ge maxr$

啥都不能保證，直接暴力擴展

綜上：

如果$i<maxr$,按上述條件更新$p_i$

暴力拓展

更新$maxr$和$pos$

然后……對，沒了，就三行。

這就是$manacher$的全過程，復雜度$O(n)$，后面有證明

實現

上面沒有討論偶回文，主要是轉化過程比較難看，容易使人喪失信心。

其實也不難。只需要在字符兩兩之間加一個字符,如‘#’；然后首尾也加上‘#’，再在開頭加一個標識符防止越界。注意要和之前的不同，如‘@’

這樣偶回文可以看做中心是‘#’的回文

普及T1模擬水平

這樣處理后，所有回文串左右端點都是‘#’，然后就可以跑了

證明

什么？不是只改了一個地方嗎？怎么變$O(n)$了？

回顧整個流程，真正暴力拓展的時候要么$j$左端點越界，要么$i$越界($j$左端點沒越界時，根據反證法，$i$實際上無法拓展)

$j$左端點越界時，$i$右端點出生點就在$maxr$，再拓展就超出去了

也就是說，每次暴力拓展，都意味著$maxr$更新，而$maxr$只會往右跑

換一個角度，實際上暴力拓展是把$maxr$推到最右邊，次數是$O(n)$的

所以總復雜度是$O(n)$的

代碼

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #define MAXN 1000005 using namespace std; char s[MAXN],ss[MAXN]; int pos,maxr; int p[MAXN]; int main() {scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;i++) ss[i<<1]=s[i],ss[(i<<1)|1]='#';n=(n<<1)|1,ss[0]='@',ss[1]='#';strcpy(s,ss);for (int i=1;i<=n;i++){if (i<maxr) p[i]=min(p[(pos<<1)-i],maxr-i);while (s[i-p[i]-1]==s[i+p[i]+1]) ++p[i];if (i+p[i]>maxr) maxr=i+p[i],pos=i;}return 0; }

由于所有位置為中心的最長回文串左右端點都是‘#’

回文串長度$le{n}_i=\frac{2p_i+1?1}{2}=p_i$

然后用來搞事情就可以了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Manacher入门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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