怎么這么多閱讀啊……

這篇文章是群論（其實只有Polya）在信息學奧賽中計數的運用，并不是群論的講義……

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群論可以說是數學中最高深的內容，一個oier去深入了解是不現實的。因此，我們只需要知道結論。

本文主要講解群論在oi中輔助計數的運用，將盡量做到通俗易懂。

Luogu P4980

題意：給一個長度為$N$的環，染$N$種色，旋轉同構，求方案數

$N\le 1e9$

基本概念

置換 一個排列$p$，表示$i$可以變成$p_i$

本題中，旋轉后得到的排列就是置換。

$(1,2,3,...,n)(2,3,4,...,n,1)......(n,1,2,...,n?1)$都是置換

置換群一堆置換

置換間可以相乘。規則是對每個$i$依次進行每個置換

本題中，上述$n$個置換構成置換群

軌道某個數$a$,經過若干置換（可以為1）回到自己，經過的數在一個軌道上。

人話：環

本題中，若$n=6$,對于置換$(3,4,5,6,1,2)$,$3?>5?>1$和$4?>6?>2$是兩個軌道

Burnside引理

本質不同的方案數等于每個置換跑了之后不變化的方案數的平均值

人話：對于每個置換，把每個軌道縮成點，求出當前方案數，所有方案的和除以總置換數就是本質不同的方案數。

這樣可以枚舉置換，然后暴力跑出置換數，可以做到$O(n^2)$

然而這題有個特殊性質，容(bu)易(yong)證明

$\text{軌道數=gcd（旋轉次數，n）}$

這樣可以得到公式：

$Ans=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{n}^{gcd(i,n)}$

如果我沒理解錯，這個就是$polya$定理

真心不知道有啥區別

可以做到$O(nlogn)$

優化

回到

$Ans=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{n}^{gcd(i,n)}$

我們發現$gcd(i,n)$ 只有$O(\sqrt{n})$種取值

可以枚舉$gcd(i,n)$

$Ans=\frac{1}{n}{\sum }_{d|n}{\sum }_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]n^d$

不就是歐拉函數嗎

$Ans=\frac{1}{n}{\sum }_{d|n}?(\frac{n}{d})n^d={\sum }_{d|n}?(\frac{n}{d})n^{d?1}$

然后是暴力枚舉$d$，暴力算$?$，復雜度$O(n^{\frac{3}{4}})$

并不會證明

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD=1e9+7; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans; } inline int phi(int x) {int ans=x;for (int i=2;i*i<=x;i++)if (x%i==0){ans/=i,ans*=i-1;while (x%i==0) x/=i;}if (x>1) ans/=x,ans*=x-1;return ans; } int n; int calc(const int&d){return (ll)phi(n/d)*qpow(n,d-1)%MOD;} int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--){int ans=0;scanf("%d",&n);for (int i=1;i*i<=n;i++)if (n%i==0) {ans=(ans+calc(i))%MOD;if (i*i<n) ans=(ans+calc(n/i))%MOD;}printf("%d\n",ans);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的OI群论：从入门到自闭的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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