傳送門

題意：給定$p,N$,求

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}ijgcd(i,j)\text{?}mod\text{?}p$$

$p$為質數，在$1e9$左右

$N\le 1e10$

神仙題

前置芝士：杜教篩

懶得重新寫，所以順便講一下

杜教篩可以在非線性時間求積性函數的前綴和

設所求函數為$f(n)$,$S(n)為前綴和$

$$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$

構造一個可以快速計算前綴和的函數$g(n)$，且和$f(n)$的狄利克雷卷積$(f?g)(n)$的前綴和可以快速求出

考慮

$$\sum _{i=1}^n(f?g)(i)$$

暴力拆開

$$\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}f(d)g(\frac{i}{d})$$

枚舉$d$

$$\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{d\mid i}f(\frac{i}{d})$$

$$\sum _{d=1}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$

我們要求的是$S(n)$,所以可以求出$g(1)S(n)$

即

$$\sum _{d=1}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$

換成上面

$$\sum _{i=1}^n(f?g)(i)?\sum _{d=2}^{n}g(d)S(?\frac{n}{d}?)$$

左邊直接求，右邊整除分塊套遞歸

復雜度是$O(N^{\frac{3}{4}})$

如果線性篩出$N^{\frac{2}{3}}$以內的并用$map$記憶化，可以達到$O(N^{\frac{2}{3}})$

正文

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{N}ijgcd(i,j)$$

套路

$$\sum _{d=1}^N\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[gcd(i,j)=d]ijd$$

$$\sum _{d=1}^{N}d\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[gcd(i,j)=d]ij$$

右邊可以反演

設

$$f(n)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[gcd(i,j)=n]ij$$

$$F(d)=\sum _{d\mid n}f(n)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[d\mid i][d\mid j]ij$$

記$sum(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

$$F(d)=d^2(sum?\frac{N}{d}?{)}^2$$

$$f(d)=\sum _{d\mid n}F(n)\mu (\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}{n}^2(sum?\frac{N}{n}?{)}^2\mu (\frac{n}{d})$$

原來求的是

$$\sum _{d=1}^{N}df(d)$$

$$\sum _{d=1}^{N}d\sum _{d\mid n}{n}^2(sum?\frac{N}{n}?{)}^2\mu (\frac{n}{d})$$

枚舉$n$

$$\sum _{n=1}^N{n}^2(sum?\frac{N}{n}?{)}^2\sum _{d\mid n}d\mu (\frac{n}{d})$$

右邊就是$\phi$

$$\sum _{n=1}^N(sum?\frac{N}{n}?{)}^2{n}^2\phi (n)$$

左邊是個整除分塊，所以求出右邊就可以了

#undef f

設$f(n)=n^2\phi (n)$

顯然這是個積性函數，考慮杜教篩

$$(f?g)(n)=\sum _{d\mid n}g(d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d\mid n}g(d)\frac{n^2}{d^2}\phi (\frac{n}{d})$$

令$g(n)=n^2$就可以消掉

則

$$(f?g)(n)=\sum _{d\mid n}{n}^2\phi (\frac{n}{d})=n^2\sum _{d\mid n}\phi (d)=n^3$$

眾所周知

$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n{)}^2$$

兩個前綴和都可以$O(1)$算出

這個問題就解決了

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <map> #define MAXN 10000005 using namespace std; typedef long long ll; int MOD,inv2,inv6; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x-y<0? x-y+MOD:x-y;} inline int mul(const int& x,const int& y){return (ll)x*y%MOD;} inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=mul(ans,a);a=mul(a,a);p>>=1;}return ans; } const int N=10000000; int np[MAXN],pl[1000005],cnt; int phi[MAXN],f_sum[MAXN]; void init() {np[1]=phi[1]=1;for (int i=2;i<=N;++i){if (!np[i]) phi[pl[++cnt]=i]=i-1;int x;for (int j=1;(x=i*pl[j])<=N;++j){np[x]=1;if (i%pl[j]==0){phi[x]=mul(phi[i],pl[j]);break;}phi[x]=mul(phi[i],pl[j]-1);}}for (int i=1;i<=N;i++) f_sum[i]=add(f_sum[i-1],mul(phi[i],mul(i,i))); } inline int calc(const int& n){return mul(mul(n,n+1),inv2);} inline int calc2(const int& n){return mul(mul(n,n+1),mul(2*n+1,inv6));} inline int calc3(const int& n){int t=calc(n);return mul(t,t);} map<int,int> m; int getsum(ll n) {if (n<=N) return f_sum[n];if (m[n]) return m[n];int ans=calc3(n%MOD);for (ll l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);int tmp=getsum(n/l);ans=dec(ans,mul(dec(calc2(r%MOD),calc2((l-1)%MOD)),tmp));}return m[n]=ans; } //int gcd(int a,int b) //{ // return b? gcd(b,a%b):a; //} int main() {ll n;scanf("%d%lld",&MOD,&n);inv2=(MOD+1)>>1;inv6=qpow(6,MOD-2);init(); int ans=0; // for (int i=1;i<=n;i++) // for (int j=1;j<=n;j++) // ans=(ans+(ll)i*j%MOD*gcd(i,j))%MOD; // cerr<<ans<<'\n'; // ans=0;for (ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans=add(ans,mul(calc3((n/l)%MOD),dec(getsum(r),getsum(l-1))));}printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【洛谷3768】简单的数学题【莫比乌斯反演】【杜教筛】【小学奥数】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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