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題意：給一個01串$S$，求一個等長的01串$T$

$S$和$T$所有對應位置的子串最長不下降子序列長度（以下簡稱$\text{LIS}$）相同

$T$中0的數量盡量多

$|S|\le 100000$

對于一個01串$S$，我們稱它是固定的，當且僅當不存在一個長度相同的01串$T$,它們所有對應位置的子串$\text{LIS}$相同（即修改任意一個位置都會改變$\text{LIS}$），并且規定空串是固定的。

• 兩個固定的串拼起來仍然是固定的。如果修改了一個位置，根據定義，這個位置原來歸屬的串的$\text{LIS}$一定發生了變化。
• 一個固定的串0和1個數相等，$\text{LIS}$等于其長度的一半，即全選0或全選1。前面和下一條遞歸證明，邊界為空串。后面由于一組01（見下一條）的1一定在0的前面，最多只有1的貢獻。
• 一個固定的串前面添“1”，后面添“0”后仍然固定。和上一條遞歸證明，修改中間同理，修改兩邊一定會增加1。

我們在原串中刪除所有極大的固定子串，由于沒有“10”，所以剩下的一定是“00000……11111”

由定義，固定子串是不能修改的

【解法一】

我們發現這玩意就是括號匹配

用個棧維護一下，得到剩下的字符

然后把后面的一坨1都改成0。顯然不能改更多的。

這樣對于任意一個子串，把它的極大固定子串挖出來，由于后綴的“1”可能改成了“0”，把影響的段改成“全選0”后$\text{LIS}$不會變化，可以保證合法。

【解法二】

結論：某個1可以改為0，當且僅當修改后整個串的$\text{LIS}$不變。

其實本質是相同的。如果某個位置的1在某個固定子串中，顯然修改會改變這個子串的$\text{LIS}$，并且會改變原串的$\text{LIS}$。否則對$\text{LIS}$不會產生影響。

倒著DP一下即可。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 100005 using namespace std; char s[MAXN]; int pre0[MAXN],suf1[MAXN],dp[MAXN]; int main() {scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);for (int i=1;i<=n;i++) pre0[i]=pre0[i-1]+(s[i]=='0');for (int i=n;i>=1;i--) suf1[i]=suf1[i+1]+(s[i]=='1');for (int i=n;i>=1;i--) dp[i]=(s[i]=='1'? max(suf1[i],dp[i+1]):dp[i+1]+1);int now=0;for (int i=1;i<=n;i++)if (s[i]=='0'||now+1+dp[i+1]<=dp[1]) putchar('0'),++now;else putchar('1');return 0; }

總結

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