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題意：開始時你有一個數$0$,每次選出$[0,2^n?1]$中的一個數進行按位或，每個數選中的概率給定。求得到$2^n?1$的期望操作次數。

$1\le n\le 20$

神仙題

首先發現每一位都是獨立的，可以分開考慮。

對于一個集合$S$,記$F(S)$表示$S$的每一個元素出現的期望操作次數組成的可重集，記$Max(S)=max(F(S)),Min(S)=min(F(S))$

記$S=2^n?1$,我們要求的就是$E(Max(S))$

這個不好求，但可以Min-Max容斥一下？

$$E(Max(S))=\sum _{T?S}(?1{)}^{|T|+1}E(Min(T))$$

可以直接枚舉子集，現在考慮怎么求$E(Min(T))$

這玩意的意義是或到和$T$有交集的期望次數

設每次選出一個和$T$有交集的數的概率是$p$

$$E(Min(T))=\sum _{i=1}^{\infty }i(1?p{)}^{i?1}p$$

$$=p\sum _{i=1}^{\infty }i(1?p{)}^{i?1}$$

記

$$s=\sum _{i=1}^{\infty }i(1?p{)}^{i?1}$$

$$(1?p)s=\sum _{i=2}^{\infty }(i?1)(1?p{)}^{i?1}$$

$$=\sum _{i=1}^{\infty }(i?1)(1?p{)}^{i?1}$$

$$ps=\sum _{i=1}^{\infty }(1?p{)}^{i?1}$$

$$=\sum _{i=0}^{\infty }(1?p{)}^i$$

$$(1?p)ps=\sum _{i=1}^{\infty }(1?p{)}^i$$

$$p^{2}s=1$$

$$s=\frac{1}{p^2}$$

$$E(Min(T))=ps=\frac{1}{p}$$

$p$仍然不好求。

正難則反，我們求和$T$沒有交集的概率

即$T$的補集的子集的概率之和

第一次寫的子集標記，發現會被算多次

然后發現不是個$FWT$板子嗎

然后沒了

注意不枚舉空集 如果遇到無窮大直接輸出

復雜度$O(n{2}^n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> using namespace std; double p[1<<20]; const int d[]={0,1,1,2,1,2,2,3}; inline int count(int x) {int ans=0;while (x){ans+=d[x&7];x>>=3;}return ans; } int main() {int n;scanf("%d",&n);for (int i=0;i<(1<<n);i++) scanf("%lf",&p[i]);for (int mid=1;mid<(1<<n);mid<<=1)for (int s=0;s<(1<<n);s+=(mid<<1))for (int k=0;k<mid;k++)p[s+mid+k]+=p[s+k];double sum=0;for (int i=1;i<(1<<n);++i){double t=1-p[(~i)&((1<<n)-1)];if (t<1e-10){puts("INF");return 0;}t=1/t;sum+=((count(i)&1)? t:-t);}printf("%.10f\n",sum);return 0; }

wtcl

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【HAOI2015】按位或【Min-Max容斥】【FWT】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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