題意：給一個$N\times M$的矩陣，可以進行任意多次操作將一列輪換，求每一行的最大值之和的最大值。多組數據。

Easy Version$N\le 4$,$M\le 100$

Hard Version$N\le 12$,$M\le 2000$

看這數據范圍顯然是個狀壓

相當于是每一行只能選一個

設$f(i,S)$表示當前到$i$,已經選了$S$的最大值

記憶化搜索一波，暴力轉一下

復雜度$O(4^n{n}^{2}m)$ 可以通過Easy Version

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cctype>using namespace std;int n,m;int a[20][105],dp[105][1<<4];int Move(int s){return (s>>1)|((s&1)<<(n-1));}int dfs(int pos,int s){if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++){if (s&t) continue;int res=dfs(pos+1,s|t);int mx=0;for (int k=0,cur=t;k<n;k++){int sum=0;cur=Move(cur);for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&cur)sum+=a[i][pos];mx=max(mx,sum);}ans=max(ans,res+mx);}return ans;}void solve(){memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);printf("%d\n",dfs(0,0));}int main(){int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0;}

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復雜度里有$M$，過不了HV

考慮如何消掉M

我們發現因為只有$N$行，所以最多只有$N$列選了數

能否快速確定這$N$列？

貪心！

我們把列按最大值從大到小排序，如果前面的一列沒選數而后面的選了

那我們完全可以改成前面沒有選的，一定更優

因為只能選$N$個數，所以只用考慮最大的$N$列

復雜度$O(4^n{n}^3)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int n,m; int a[20][2005],dp[2005][1<<12],ord[2005]; int Move(int s){return (s>>1)|((s&1)<<(n-1));} int dfs(int pos,int s) {if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++){if (s&t) continue;int res=dfs(pos+1,s|t);int mx=0; // printf("%d",t);for (int k=0,cur=t;k<n;k++){int sum=0;cur=Move(cur); // printf("->%d",cur);for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&cur)sum+=a[i][ord[pos]];mx=max(mx,sum);} // puts("");ans=max(ans,res+mx);}return ans; } int mx[2005]; inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];} void solve() {memset(dp,0,sizeof(dp));memset(mx,0,sizeof(mx));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) ord[i]=i;sort(ord,ord+m,cmp);m=min(n,m);printf("%d\n",dfs(0,0)); } int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0; }

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然而發現慢得飛起

我們發現：在dp的時候，會花費$O(n)$找出最佳的旋轉方案,而這個$O(n)$是在$O(4^n)$的基礎上的

為什么不預處理呢

然后得到了$O(2^n{n}^3+4^{n}n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int n,m; int a[20][2005],mem[2005][1<<12],dp[2005][1<<12],ord[2005]; int dfs(int pos,int s) {if (dp[pos][s]) return dp[pos][s];if (s==(1<<n)-1) return 0;if (pos==m) return 0;int &ans=dp[pos][s];for (int t=0;t<(1<<n);t++)if (!(s&t))ans=max(ans,dfs(pos+1,s|t)+mem[ord[pos]][t]);return ans; } int mx[2005]; inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];} void solve() {memset(dp,0,sizeof(dp));memset(mx,0,sizeof(mx));memset(mem,0,sizeof(mem));scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) ord[i]=i;sort(ord,ord+m,cmp);m=min(n,m);for (int pos=0;pos<m;pos++)for (int s=0;s<(1<<n);s++)for (int k=0;k<n;k++){int sum=0;for (int i=0;i<n;i++)if (s&(1<<i))sum+=a[(i+k)%n][ord[pos]];mem[ord[pos]][s]=max(mem[ord[pos]][s],sum); } printf("%d\n",dfs(0,0)); } int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0; }

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然而還是慢得飛起

這玩意還有多組數據

我們發現這一句

if (!(s&t))

是求和$s$沒有交集的$t$

能否快速得到這玩意呢？

還真不行

但我們可以換一種實現方式

直接遞推實現dp

這樣從上一維轉移過來只用枚舉子集

可以用這句

for (int t=s;t;t=((t-1)&s))

這樣就只枚舉了$s$的子集

復雜度？

加上枚舉$s$

一共是

$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i{2}^i$$

$$=\sum _{i=0}^n{C}_n^{n?i}{2}^i$$

$$=(1+2{)}^n=3^n$$

所以復雜度是$O(2^n{n}^3+3^{n}n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int n,m; int a[12][2000],mx[2000],pos[2000],mem[2000][1<<12],dp[2000][1<<12]; inline bool cmp(const int& a,const int& b){return mx[a]>mx[b];} void solve() {scanf("%d%d",&n,&m);memset(mx,0,sizeof(mx));for (int i=0;i<n;i++)for (int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mx[j]=max(mx[j],a[i][j]);for (int i=0;i<m;i++) pos[i]=i;sort(pos,pos+m,cmp);m=min(n,m);for (int p=0;p<m;p++)for (int s=0;s<(1<<n);s++){mem[p][s]=0;for (int k=0;k<n;k++){int sum=0;for (int i=0;i<n;i++)if ((1<<i)&s)sum+=a[(i+k)%n][pos[p]];mem[p][s]=max(mem[p][s],sum);}} memset(dp,0,sizeof(dp));for (int s=0;s<(1<<n);s++) dp[0][s]=mem[0][s];for (int p=1;p<m;p++)for (int s=0;s<(1<<n);s++){for (int t=s;t;t=((t-1)&s))dp[p][s]=max(dp[p][s],dp[p-1][s^t]+mem[p][t]);dp[p][s]=max(dp[p][s],dp[p-1][s]); }printf("%d\n",dp[m-1][(1<<n)-1]); } int main() {int T;scanf("%d",&T);while (T--) solve();return 0; }

過于毒瘤

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【CF1209E】Rotate Columns【状压DP】【位运算】【贪心】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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