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單位根反演聽著高級，其實沒啥技術含量……

本文是篇幾乎沒有證明的佛系講解

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單位根反演的式子長這樣：

$$\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n?1}{\omega }_n^{ik}=[k|n]$$

其實本質是IFFT

感覺懵的？

那直接記結論：對于一個多項式$f(x)$,有

$$\sum _{k|i}[x^i]f(x)=\frac{1}{k}\sum _{i=0}^{k?1}f({\omega }^{i}x)$$

請參考下面的題解以更好地理解這個式子

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$d=1$的時候直接快速冪走人

$d=2$的時候

考慮生成函數 帶標號所以用EGF

得到一位群友的EGF為

$$f(x)=\sum _{2|i}\frac{1}{i!}{x}^i$$

也就是只有偶數項有值

可以構造出

$$f(x)=\frac{e^x+e^{?x}}{2}$$

$k$位群友就是$f^k(x)$

強行二項式定理拆開，可以得到

$$\frac{1}{2^k}\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)[x^n]e^{x(2i?k)}$$

對于$[x^n]e^{x(2i?k)}$,可以考慮它的組合意義，相當于用$2i?k$種顏色涂$n$個格子，即$(2i?k{)}^n$,然后得到的是EGF，也就是除以了一個$n!$;最終算答案會乘上一個$n!$，剛好抵消。

當然很不嚴謹，因為有負數的情況。嚴謹證明可以用泰勒展開。

然后暴力枚舉即可

對于$d=3$

$$f(x)=\sum _{3|i}\frac{1}{i!}{x}^i$$

仿照上面的栗子，考慮到$1,?1$是$1$的二次方根，那么現在應該用$3$的單位根

大膽猜想

$$f(x)=\frac{e^x+e^{\omega x}+e^{{\omega }^{2}x}}{3}$$

后面就沒啥區別了

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 500005 using namespace std; const int MOD=19491001; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;} typedef long long ll; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) const int w1=18827933,w2=663067; int fac[MAXN],finv[MAXN]; inline void init(const int& N) {fac[0]=1;for (int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[N]=inv(fac[N]);for (int i=N-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD; } inline int C(const int& n,const int& m){return (ll)fac[n]*finv[m]%MOD*finv[n-m]%MOD;} int main() {int n,k,d;scanf("%d%d%d",&n,&k,&d);init(k);if (d==1) return printf("%d\n",qpow(k,n)),0;if (d==2){int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++) ans=add(ans,(ll)C(k,i)*qpow(dec(2*i,k),n)%MOD);ans=(ll)ans*inv(qpow(2,k))%MOD;printf("%d\n",ans);return 0;}int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++)for (int j=0;j<=k-i;j++)ans=add(ans,(ll)C(k,i)*C(k-i,j)%MOD*qpow(add(add(i,(ll)j*w1%MOD),(ll)(k-i-j)*w2%MOD),n)%MOD);ans=(ll)ans*inv(qpow(3,k))%MOD;printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集训队作业2018】复读机【指数型生成函数】【单位根反演】【二项式定理】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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