引入

帶花樹(shù)解決的是一般圖的最大匹配問(wèn)題。

學(xué)習(xí)此算法前你需要掌握二分圖匹配的匈牙利算法，至少需要知道它的思想。

理論

眾所周知，二分圖匹配的思想是不斷地找增廣路。

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v，是找到了一條簡(jiǎn)單路徑，它的起點(diǎn)和終點(diǎn)都未匹配，并且路徑上的邊是 匹配邊-非匹配邊 相互交錯(cuò)。

但是在一般圖中直接找增廣路會(huì)出鍋。

原因是二分圖中可以保證增廣的過(guò)程中匹配邊都是從左邊連到右邊，但一般圖中因?yàn)槠姝h(huán)的存在，使得這個(gè)方向是不定的。具體的原因不（lan）再（de）說(shuō)明，自己畫(huà)個(gè)圖就可以看出。

我們注意到，二分圖和一般圖最本質(zhì)，或者說(shuō)唯一的區(qū)別就是是否存在奇環(huán)。

注：對(duì)于這個(gè)奇環(huán)雖然不一定簡(jiǎn)單，但直接把它當(dāng)成簡(jiǎn)單環(huán)處理，后面會(huì)詳細(xì)說(shuō)明。

我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)大小為$2k+1$的奇環(huán)，從任意一個(gè)點(diǎn)都可以向外匹配，并且環(huán)內(nèi)剩下的$2k$個(gè)點(diǎn)可以組成$k$對(duì)匹配。

這么說(shuō)的話，環(huán)上的每個(gè)點(diǎn)都是等效的。

這么說(shuō)我們可以直接把這$2k+1$個(gè)點(diǎn)縮成一個(gè)點(diǎn)處理，我們把縮成的點(diǎn)稱為"花"。

然后繼續(xù)增廣就可以了。

流程

前面說(shuō)著簡(jiǎn)單其實(shí)全在口胡……本算法的難點(diǎn)全在實(shí)現(xiàn)上。

記錄每個(gè)點(diǎn)的匹配點(diǎn)$m_i$,如果沒(méi)有匹配$m_i=0$,顯然初始時(shí)$m_i=0$

首先枚舉所有結(jié)點(diǎn)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)未匹配點(diǎn)(即$m_i=0$)時(shí)，嘗試從這個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)找一條增廣路。

設(shè)這個(gè)點(diǎn)為$s$,從$s$為根開(kāi)始做 BFS 建出一棵帶花樹(shù)。注意帶花樹(shù)是對(duì)一個(gè)根單獨(dú)建的，也就是每次都要清空數(shù)據(jù)。

因?yàn)槲覀円页鲈鰪V路翻轉(zhuǎn)，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)$i$記錄一個(gè)前驅(qū) $pr{e}_i$,表示如果以$s$為增廣路起點(diǎn)，$i$為終點(diǎn)，路徑上的倒數(shù)第二個(gè)點(diǎn)(也就是$i$往上跳一個(gè)點(diǎn))是哪個(gè)。

值得注意的是，找增廣路的時(shí)候并不是一直跳$pr{e}_i$,因?yàn)樵鰪V路是交替的，跳一步之后下一步一定是匹配邊。

所以跳一步$pre$后直接走到對(duì)應(yīng)的匹配點(diǎn),即不斷地$i\leftarrow m_{pr{e}_i}$，這在后面將很有用。

對(duì)點(diǎn)進(jìn)行染色。一個(gè)點(diǎn)有三種狀態(tài)：黑色，白色，未染色。開(kāi)始時(shí)所有點(diǎn)都未染色。然后起點(diǎn)$s$設(shè)為黑色。

每次從隊(duì)列中取出一個(gè)點(diǎn)$u$，從后面的流程可以知道它一定是黑點(diǎn)。

訪問(wèn)所有與$u$相鄰的點(diǎn)$v$，然后大力分類討論。

$u$和$v$在一個(gè)花中（也就是被縮成了一個(gè)點(diǎn)）

不知道咋處理，但腦電波一下應(yīng)該沒(méi)啥影響，所以跳過(guò)好了。

$v$是白色

似乎還是沒(méi)啥用，跳過(guò)好了。

$v$未染色

如果 $v$沒(méi)有被匹配，那么我們就找到了一條增廣路，跳$pre$翻轉(zhuǎn)所有邊的匹配狀態(tài)，答案$+1$,退出函數(shù)。

否則我們把$v$染成白色，并令$pr{e}_v=u$。因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$v$已經(jīng)有匹配了，我們把$m_v$染成黑色并壓進(jìn)隊(duì)列，表示從可以這里開(kāi)始增廣。

$v$是黑色

最復(fù)雜的情況。當(dāng)找到一個(gè)黑色的時(shí)候說(shuō)明出現(xiàn)了一個(gè)奇環(huán)。

因?yàn)槭?bfs，我們可以暴力跳$pre$找到以$s$為根時(shí)$u$和$v$的 LCA ，記為$p$

我們需要把這條路徑上的點(diǎn)合并。

可以用并查集維護(hù)，把路徑上的點(diǎn)并查集的父親設(shè)為$p$就可以了。注意花里面可能套了花，所以只考慮并查集的根。

然而還沒(méi)完，因?yàn)槟氵€要求出具體的匹配點(diǎn)，所以你需要維護(hù)環(huán)內(nèi)的匹配情況。

圖例：粗邊為匹配邊，細(xì)邊為未匹配邊，箭頭為$pre$

為了貫徹落實(shí)“任何一個(gè)點(diǎn)都可以向外匹配”的性質(zhì)，盯著這個(gè)圖，發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)黑點(diǎn)（即所有匹配邊的下面那個(gè)）在外面有匹配邊的時(shí)候，都可以向上整一條增廣路出來(lái)。

以$v$為例：

我們想讓白點(diǎn)（匹配邊上面那個(gè)）也可以整一個(gè)出來(lái)，不難構(gòu)造出

地 獄 繪 圖

這樣利用找增廣路是隔一次跳一步的性質(zhì)，白點(diǎn)會(huì)從下面繞一圈上去，完美地解決了這個(gè)問(wèn)題。具體實(shí)現(xiàn)見(jiàn)代碼。

然后在跳的過(guò)程中把白點(diǎn)染成黑點(diǎn)并入隊(duì)，表示歡迎外面的點(diǎn)進(jìn)來(lái)找增廣路。

如果你不知道為什么原來(lái)就是黑色的點(diǎn)不入隊(duì)，想想你把它染成黑色的時(shí)候在干什么。

總復(fù)雜度是$O(n^3)$，實(shí)際上很松，可以當(dāng)$O(n^2)$算

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <queue> #define MAXN 1005 #define MAXM 100005 using namespace std; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } struct edge{int u,v;}e[MAXM]; int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt; void addnode(int u,int v) {e[++cnt]=(edge){u,v};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt; } int mat[MAXN],pre[MAXN],col[MAXN],fa[MAXN],n,m; int idx[MAXN],tot; inline int find(const int& x){return x==fa[x]? x:fa[x]=find(fa[x]);} queue<int> q; inline int lca(int x,int y) {for (++tot;;swap(x,y))if (x){x=find(x);if (idx[x]==tot) return x;idx[x]=tot,x=pre[mat[x]]; } } inline void shrink(int x,int y,int l) {while (find(x)!=l){pre[x]=y,y=mat[x];if (col[y]==2) col[y]=1,q.push(y);if (x==find(x)) fa[x]=l;if (y==find(y)) fa[y]=l;x=pre[y];} } inline int bfs(int s) {while (!q.empty()) q.pop();q.push(s);col[s]=1;for (int i=1;i<=n;i++) pre[i]=col[i]=0,fa[i]=i;while (!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for (int i=head[u];i;i=nxt[i]){int v=e[i].v;if (col[v]==2||find(u)==find(v)) continue;if (!col[v]){col[v]=2,pre[v]=u;if (!mat[v]){for (int last;v;v=last)last=mat[pre[v]],mat[v]=pre[v],mat[pre[v]]=v;return 1;}col[mat[v]]=1,q.push(mat[v]);}else{int l=lca(u,v);shrink(u,v,l),shrink(v,u,l);}}}return 0; } int main() {n=read(),m=read();for (int i=1;i<=m;i++){int u,v;u=read(),v=read();addnode(u,v),addnode(v,u);}for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;int ans=0;for (int i=1;i<=n;i++)if (!mat[i])ans+=bfs(i);printf("%d\n",ans);for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",mat[i]," \n"[i==n]);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的带花树学习笔记的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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