題意：一棵$n$個(gè)點(diǎn)的無(wú)權(quán)樹(shù)，給定每個(gè)點(diǎn)$i$到其他所有點(diǎn)的距離之和$d_i$，保證$d_i$兩兩不同。構(gòu)造或判斷無(wú)法構(gòu)造一棵滿(mǎn)足條件的樹(shù)。

$n\le 10^5$

首先對(duì)于非根結(jié)點(diǎn)$u$，有

$$d_u=d_{f{a}_u}?si{z}_u+(n?si{z}_u)$$

所以$d$最大的一定是葉子結(jié)點(diǎn)

把$d$從大到小排序，然后用上面的式子依次找到每個(gè)點(diǎn)的父親，如果沒(méi)有找到輸出無(wú)解。

注意并不是由兒子的$d$來(lái)確定它的父親是誰(shuí)，它的父親以及$d$值是早就定好了的，你只是把它找出來(lái)。這個(gè)式子是計(jì)算式而不是決定式。

因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$d$值是唯一的，所以這個(gè)過(guò)程是確定的，如果有解的話(huà)一定可以確定出來(lái)。

注意構(gòu)造出來(lái)了不一定代表有解，如果把$d$看成$n$個(gè)變量，而$n?1$條邊只能確定$d$之間的關(guān)系。所以需要判斷一個(gè)點(diǎn)算出的$d$是否是真正的$d$，直接把$siz$加起來(lái)就是$d_{root}$，判一下即可。

復(fù)雜度$O(n\log n)$

#include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #include <utility> #define MAXN 100005 using namespace std; typedef long long ll; typedef pair<ll,int> pi; ll read() {ll ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } pi p[MAXN]; int siz[MAXN],fa[MAXN]; ll d[MAXN]; int main() {int n=read();for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=make_pair(read(),i),siz[i]=1;sort(p+1,p+n+1);ll sum=0;for (int i=n;i>1;i--){ll t=p[i].first-n+2*siz[p[i].second];int k=lower_bound(p+1,p+n+1,make_pair(t,0))-p;if (p[k].first!=t) return puts("-1"),0;fa[p[i].second]=p[k].second,siz[p[k].second]+=siz[p[i].second];sum+=siz[p[i].second];}if (sum!=p[1].first) return puts("-1"),0;for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]) printf("%d %d\n",fa[i],i);return 0; }

總結(jié)

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